R05-数学-线性代数

線形代数 (Linear algebra)

$n\times n$ の実対称行列 $A=[a_{ij}{]}_{n\times n}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ に対して、$A$ の各要素 $a_{ij}$ が $a_{ij}\in \{0,1\}$ ($1\le i,j\le n$) かつ $a_{ii}=0$ ($1\le i\le n$) を満たすとする。$A$ に対して、$D=[{\delta }_{ij}({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}){]}_{n\times n}$ と定義する。ただし、${\delta }_{ij}$ は、$1\le i,j\le n$ に対して、$i=j$ のとき ${\delta }_{ij}=1$、そうでないとき ${\delta }_{ij}=0$ によって定義される。さらに、$L=D-A$ と定義する。以下の各問いに答えよ。

(1) 以下の $A$ に対して、$L=D-A$ を求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

(2) (1) で求めた $L$ の固有値を全て求めよ。
(3) (2) で求めた $L$ の各固有値に対する固有空間を求めよ。
(4) 一般に $L$ は固有値 $0$ を持つことを示せ。

中文翻译

对于 $n\times n$ 的实对称矩阵 $A=[a_{ij}{]}_{n\times n}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，假设 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$ 满足 $a_{ij}\in \{0,1\}$ ($1\le i,j\le n$) 且 $a_{ii}=0$ ($1\le i\le n$)。对于 $A$，定义 $D=[{\delta }_{ij}({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}){]}_{n\times n}$，其中 ${\delta }_{ij}$ 定义为：当 $i=j$ 时 ${\delta }_{ij}=1$，否则 ${\delta }_{ij}=0$。进一步定义 $L=D-A$。请回答以下问题。

(1) 对于以下矩阵 $A$，求 $L=D-A$。

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

(2) 求 (1) 中得到的 $L$ 的所有特征值。
(3) 求 (2) 中得到的 $L$ 的每个特征值对应的特征空间。
(4) 证明一般情况下 $L$ 具有特征值 $0$。

解答

(1) 首先计算 $D$ 矩阵。$D$ 的对角线元素为 $A$ 的每行元素之和：

$$D=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

因此，$L=D-A$ 为：

$$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& -1& 0\\ -1& 2& -1& 0\\ -1& -1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

(2) 求 $L$ 的特征值。首先计算特征方程 $\det (L-\lambda I)=0$：

$$\det \left(\begin{array}{cccc}2-\lambda & -1& -1& 0\\ -1& 2-\lambda & -1& 0\\ -1& -1& 2-\lambda & 0\\ 0& 0& 0& -\lambda \end{array}\right)=0$$

通过计算，特征值为 $\lambda =0,3,3,0$。

(3) 对于 $\lambda =0$，特征向量为 $(1,1,1,0)$；对于 $\lambda =3$，特征向量为 $(1,-1,0,0)$ 和 $(1,0,-1,0)$。

(4) 由于 $L$ 的行和为 $0$，因此 $L$ 的零空间非空，即 $L$ 具有特征值 $0$。