傅里叶级数基底线性变换

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为了使用线性代数的方法证明由 $\sin t$，$\cos t$，$\sin 3t$ 和 $\cos 3t$ 构成的空间 $X$ 中的任意元素 $f$ 可以表示为 $\sin t$，$\cos t$，${\sin }^{3}t$，${\cos }^{3}t$ 的线性组合，我们可以考虑这些函数构成的向量空间及其基底的变换关系。

首先，我们定义向量空间 $X$ 由以下基底向量生成：

$$\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$$

我们需要证明这些基底向量可以表示为新基底向量的线性组合：

$$\{\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t\}$$

利用三倍角公式：

$$\sin 3t=3\sin t-4{\sin }^{3}t$$ $$\cos 3t=4{\cos }^{3}t-3\cos t$$

将这两个公式改写为线性组合的形式：

$${\sin }^{3}t=\frac{3}{4}\sin t-\frac{1}{4}\sin 3t$$ $${\cos }^{3}t=\frac{3}{4}\cos t+\frac{1}{4}\cos 3t$$

现在，我们可以构建变换矩阵，将新基底向量 $\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$ 表示为 $\{\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t\}$ 的线性组合：

设向量 $v$ 表示 $\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$，向量 $u$ 表示 $\{\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t\}$：

$$v=\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\\ \sin 3t\\ \cos 3t\end{array}\right)$$ $$u=\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\\ {\sin }^{3}t\\ {\cos }^{3}t\end{array}\right)$$

基于三倍角公式，我们可以写出变换矩阵 $A$，使得 $v=Au$：

$$\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\\ \sin 3t\\ \cos 3t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 3& -4\\ 0& 0& 4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\sin t\\ \cos t\\ {\sin }^{3}t\\ {\cos }^{3}t\end{array}\right)$$

因此，对于任意函数 $f(t)$，我们可以表示为 $v$ 的形式：

$$f(t)=a\sin t+b\cos t+c\sin 3t+d\cos 3t$$

用变换矩阵 $A$ 表示：

$$f(t)=a\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\\ -4\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$$

这说明 $f(t)$ 可以表示为 $\{\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t\}$ 的线性组合：

$$f(t)=(a+3c)\sin t+(b-3d)\cos t+(-4c){\sin }^{3}t+(4d){\cos }^{3}t$$

综上所述，通过线性代数的方法，我们证明了由 $\sin t$，$\cos t$，$\sin 3t$ 和 $\cos 3t$ 构成的空间 $X$ 中的任意元素 $f$ 都可以表示为 $\sin t$，$\cos t$，${\sin }^{3}t$，${\cos }^{3}t$ 的线性组合。