82-sc-r3

専門試験

問題1

問3

(1)

次の関数のマクローリン級数を求めよ。ただし，$\alpha$と$x$は実数とする
$f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$

(2)

(1)で求めた級数は，$\alpha$の値によって収束する条件が異なる。この級数が収束する$x$の範囲を求めよ

問3解

82-sc-r3 問題4 問題1-問3

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問題2

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問題3

0以上の整数値をとる独立な確率変数$X$,$Y$を考え，それぞれ以下の確率分布$f(X)$, $g(Y)$ に従うとする。ここで，$0<q<1$, $\lambda >0$ である。また，E[ ] は期待値を表す。以下の 問に答えよ。導出過程も示すこと
$f(X=x)=\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}$
$g(Y=y)=\{\begin{array}{ll}(1-q)q^{y-1}& (y>0)\\ 0& (y=0)\end{array}$

問1

ある確率変数$S$の分散が ${\sigma }_S^2$ であるとき，${\sigma }_S^2=E[S^2]-(E[S]{)}^2$ が成立する ことを示せ

問2

確率変数 X のモーメント母関数 $M_X(t)$ は次のように表される。
$M_X(t)=E[e^{Xt}]={\sum }_{x=0}^{\infty }{e}^{Xt}f(X=x)=\exp (\lambda (e^t-1))$
モーメント母関数とモーメントの関係を利用して，確率変数$X$の平均 ${\mu }_X$ と 分散${\sigma }_X^2$を求め，$\lambda$ を用いて表せ。

問3

確率変数$Y$のモーメント母関数 $M_Y(t)$ が次の式で表されることを示せ。 なお，$t<-{\log }_e(q)$ とする
$M_Y(t)=\frac{(1-q)e^t}{1-q{e}^t}$

問4

確率変数 $Z=X+Y$ とするとき，$Z$のモーメント母関数 $M_Z(t)$ を，$X$と$Y$ の モーメント母関数 $M_X(t)$ と $M_Y(t)$ を用いて表せ

問5

$q=0.5$, $\lambda =1$とし，$t<{\log }_e(2)$とする。

1. 確率変数 $Z=X+Y$ のモーメント母関数$M_Z(t)$を求めよ
2. モーメント母関数$M_Z(t)$の t に関する微分を求めよ
3. 確率変数 Z の平均${\mu }_Z$を求めよ

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問題4

有两个独立变量的实函数$u(x,t)$可以在时域做拉普拉斯变换
$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\sin (\pi x)\sin (\pi t)$
$0\le x\le 1$, $0\le t\le \infty$
边界条件: $u(0,t)=u(1,t)=0$
初始条件: $u(x,0)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$
$u(x,t)$关于$t$的拉普拉斯变换$U(x,s)$是关于复素数$s$的函数
$U(x,s)={\int }_0^{\infty }u(x,t)e^{-st}dt$

問1

用偏微分方程的拉普拉斯变换导出$U(x,s)$的表达式

問2

求解問1导出的微分方程式的解$U(x,s)$

問3

对問2得到的解进行拉普拉斯逆变换，解出$u(x,t)$

問題4解

82-sc-r3 問題4
例题-非齐次波动方程求解
拉普拉斯变换解决实指数积分

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追試験

問題1

問3

$y=\frac{2\log (x+1)}{x+1},(x>1)$
$x=\frac{1}{e}-1$
$x=e^2-1$
$y=0$
求四条曲线围成的图形D的面积S和沿x轴旋转的体积V

問題2

問1

$T=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 3& 0\\ 0& 4& 0& 3\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$计算$T$的逆矩阵

問2

以下の空欄 (1)～(5) を適切な数式で埋めよ。(1)～(4) の答えは $a_1,a_2,a_3,a_4$ を用いて表せ。
$X=\mathrm{span}\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$ を考えると、$X$ の要素 $f$ は

$$f(t)=a_1\sin t+a_2\cos t+a_3\sin 3t+a_4\cos 3t(a_1,a_2,a_3,a_4\text{ は実数})$$

と表される。この $f$ の $t$ に関する微分 $f^{\prime }$ も $X$ の要素である。すなわち、$f^{\prime }$ は

$$f^{\prime }(t)=b_1\sin t+b_2\cos t+b_3\sin 3t+b_4\cos 3t(b_1,b_2,b_3,b_4\text{ は実数})$$

と表される。ここで、

$$b_1=\text{(1)},b_2=\text{(2)},b_3=\text{(3)},b_4=\text{(4)}$$

となる。このとき、

$$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]=N\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\end{array}\right]$$

を満たす行列 $N=\text{(5)}$ を、$X$ の要素を $t$ で微分する写像の、基底 $\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$ に関する行列表示と呼ぶ。

問3

$X=\mathrm{span}\{\sin t,\cos t,\sin 3t,\cos 3t\}$ とする。

(1)

次式を満たす実数 $c_1,c_2,c_3,c_4$ および $d_1,d_2,d_3,d_4$ を求めよ。

$${\sin }^{3}t=c_1\sin t+c_2\cos t+c_3\sin 3t+c_4\cos 3t$$ $${\cos }^{3}t=d_1\sin t+d_2\cos t+d_3\sin 3t+d_4\cos 3t$$

(2)

$X$ の任意の要素 $f$ が $\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t$ の線形結合で表せることを示せ。
应用三倍角公式进行傅里叶级数分解

(3)

$X$ の要素 $f$ を $t$ で微分する写像の、基底 $\{\sin t,\cos t,{\sin }^{3}t,{\cos }^{3}t\}$ に関する行列表示を求めよ。
傅里叶级数基底线性变换

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問題3

問3

ある実験により，量$x_1$と$x_2$を測定することを考える。このとき，測定値$y$は次の ように表される
$y(a_1,a_2)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+ϵ$
$f(ϵ)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{{ϵ}^2}{2})$
測定パラメータを変化させながら，測定を３回行い，次のような結果を得た

测定参数(a_{1}$$a_{2})	$(1,0)$	$(0,1)$	$(1,1)$
测定值$y$	-5	7	1

(1)

３回測定したときの$x_1$と$x_2$に関する尤度$L$を求めよ
82-sc-r3 追試験 問題3 問3 (1)

(2)

最尤法により$x_1$と$x_2$を推定せよ

(3)

文献から，$x_1$と$x_2$の差 $x_1-x_2$ は，平均 1 ，分散 2 の正規分布に従うことが確認さ れた。この情報を事前確率に利用して，３回測定したときの$x_1$ と$x_2$を事後確率最大化法により推定せよ

82-sc-r3 追試験 問題3 問3 (3)