82-sc-r3 問題4

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\sin (\pi t)\sin (\pi x)$
边界条件:
$u(0,t)=u(1,t)=0$
初始条件:
$u(x,0)=0$
$\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$
对时域进行拉普拉斯变换. 首先, 记 $U(x,s)$ 为 $u(x,t)$ 的拉普拉斯变换, 即
$U(x,s)={\int }_0^{\infty }u(x,t)e^{-st}dt$

1. 对方程进行拉普拉斯变换

我们应用拉普拉斯变换的性质, 对原方程两边进行拉普拉斯变换:
对 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$ 进行拉普拉斯变换:
$\mathcal{L}\left\{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\right\}=s^{2}U(x,s)-su(x,0)-\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)$
由于初始条件 $u(x,0)=0$ 和 $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$, 我们有:
$\mathcal{L}\left\{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\right\}=s^{2}U(x,s)$
对于 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$, 因为它与 $t$ 无关, 因此在对 $t$ 进行拉普拉斯变换时保持不变:
$\mathcal{L}\left\{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right\}=\frac{{\partial }^{2}U(x,s)}{\partial x^2}$
对于 $\sin (\pi t)\sin (\pi x)$, 我们有:
$\mathcal{L}\left\{\sin (\pi t)\sin (\pi x)\right\}=\sin (\pi x)\mathcal{L}\left\{\sin (\pi t)\right\}=\sin (\pi x)\cdot \frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$
将这些结果代入原方程, 得到:
$s^{2}U(x,s)=\frac{{\partial }^{2}U(x,s)}{\partial x^2}+\sin (\pi x)\cdot \frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$
整理一下, 得到:
$\frac{{\partial }^{2}U(x,s)}{\partial x^2}-s^{2}U(x,s)=-\sin (\pi x)\cdot \frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$

2. 解齐次方程通解

首先考虑齐次方程:
$\frac{{\partial }^{2}U(x,s)}{\partial x^2}-s^{2}U(x,s)=0$
这个方程的通解是:
$U_h(x,s)=A(s)\sinh (sx)+B(s)\cosh (sx)$

步骤

$\frac{{\partial }^{2}U(x,s)}{\partial x^2}-s^{2}U(x,s)=0$
是一个关于$x$的二阶常微分方程, 其形式与单摆运动或简谐振子的方程相似. 这类方程的标准解法涉及寻找满足该方程的函数形式.

1. 方程形式与求解策略

该方程为二阶线性齐次常系数微分方程, 其一般形式为:
$a\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$
在我们的情况下, $a=1,b=0,c=-s^2$.

2. 解的形式

根据常系数线性微分方程的理论, 解的形式取决于特征方程的根. 对于方程:
$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-s^{2}y=0$
其特征方程为:
$r^2-s^2=0$
解得:
$r=\pm s$
这意味着通解是这两个根的线性组合.

3. 构造通解

根据特征根, 我们可以构造解为:
$y(x)=C_1{e}^{sx}+C_2{e}^{-sx}$
利用双曲正弦和双曲余弦函数的定义:
$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
我们可以重新表达解为:
$y(x)=A\sinh (sx)+B\cosh (sx)$
其中$A$和$B$是新的常数, 可以由初始或边界条件确定.

4. 应用到拉普拉斯变换的结果

在拉普拉斯变换的背景下, $U(x,s)$表示的是原函数$u(x,t)$关于时间变量$t$的拉普拉斯变换. $x$作为空间变量, 因此通解形式:
$U(x,s)=A(s)\sinh (sx)+B(s)\cosh (sx)$
这里的$A(s)$和$B(s)$是依赖于$s$的系数, 其形式由具体的物理或数学问题的边界条件决定.

2. 解非齐次方程特解

考虑非齐次项:
$\frac{{\partial }^2{U}_p(x,s)}{\partial x^2}-s^2{U}_p(x,s)=-\sin (\pi x)\cdot \frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$
我们尝试特解形式 $U_p(x,s)=C(s)\sin (\pi x)$, 代入方程得到:
$-{\pi }^{2}C(s)\sin (\pi x)-s^{2}C(s)\sin (\pi x)=-\sin (\pi x)\cdot \frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$
因此:
$C(s)({\pi }^2+s^2)=\frac{\pi }{s^2+{\pi }^2}$
解得:
$C(s)=\frac{\pi }{({\pi }^2+s^2{)}^2}$
所以特解为:
$U_p(x,s)=\frac{\pi \sin (\pi x)}{({\pi }^2+s^2{)}^2}$

4. 构造非齐次方程通解

最终解为齐次解与特解的叠加:
$U(x,s)=A(s)\sinh (sx)+B(s)\cosh (sx)+\frac{\pi \sin (\pi x)}{({\pi }^2+s^2{)}^2}$

边界条件

应用边界条件 $u(0,t)=0$ 和 $u(1,t)=0$:
对于 $x=0$:
$U(0,s)=B(s)=0$
对于 $x=1$:
$U(1,s)=A(s)\sinh (s)+\frac{\pi \sin (\pi )}{({\pi }^2+s^2{)}^2}=0$
因为 $\sin (\pi )=0$, 所以:
$A(s)\sinh (s)=0$
由于 $\sinh (s)\ne 0$ 对于 $s\ne 0$, 我们得到:
$A(s)=0$
因此:
$U(x,s)=\frac{\pi \sin (\pi x)}{({\pi }^2+s^2{)}^2}$

5. 拉普拉斯逆变换

我们识别到这是已知形式的拉普拉斯变换:
$\mathcal{L}\left\{t\sin (\pi t)\right\}=\frac{\pi }{({\pi }^2+s^2{)}^2}$
所以:
$u(x,t)=t\sin (\pi t)\sin (\pi x)$
综上, 原偏微分方程的解为:
$u(x,t)=t\sin (\pi t)\sin (\pi x)$

细节解释

拉普拉斯变换与偏导数的交换

拉普拉斯变换和偏导数 (对空间变量) 的交换不是无条件的, 它依赖于某些条件的满足. 这种交换的可能性取决于函数的性质以及积分和导数的定义域. 下面列出了一些使得偏导数与拉普拉斯变换可交换的关键条件:

1. 函数的连续性和可微性: 函数 $u(x,t)$ 必须在其定义域内关于 $x$ 和 $t$ 是连续且可微的.

2. 收敛性和增长条件: 为了确保交换是合法的, 必须保证拉普拉斯变换 ${\int }_0^{\infty }u(x,t)e^{-st}dt$ 对于每一个固定的 $x$ 都是收敛的. 此外, $u(x,t)$ 关于 $x$ 的偏导数也需要满足类似的增长条件, 以保证导数后的函数仍然满足拉普拉斯变换的收敛条件.

3. 积分和导数的界限: 如果 $u(x,t)$ 和 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 在 $t\to \infty$ 时, 随着 $e^{-st}$ 的衰减足够快地趋向于零, 那么可以交换积分和偏导数. 这意味着函数及其导数的增长速率必须被 $e^{-st}$ 控制.

4. 均匀收敛: 偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 的拉普拉斯变换需要 $u(x,t)$ 对 $x$ 的偏导在整个积分区间上均匀收敛.

如果这些条件满足, 我们可以安全地交换拉普拉斯变换与对空间变量的偏导数. 换句话说, 这允许我们写出:

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial u}{\partial x}\right\}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\mathcal{L}\{u(x,t)\}\right)$$

这个公式的应用需要确保函数 $u(x,t)$ 和环境满足上述条件. 在实际应用中, 这些条件的验证是必要的, 以保证得到正确和可靠的数学结果.

根据提供的边界条件 $u(0,t)=u(1,t)=0$ 和初始条件 $u(x,0)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$, 我们可以进一步分析问题. 以下是进行判断的关键步骤和依据:

1. 解的形式和性质

对于边界条件和初始条件的特定设置, $u(x,t)$ 可能是一个受限的波动问题的解. 特别是, 这种类型的问题通常涉及波动方程, 解可能表现为行波或驻波. 由于解在 $x=0$ 和 $x=1$ 处为零, 这提示解可能涉及正弦项或其他周期函数, 这些函数在这些边界处自然归零.

2. 解的增长和行为

初始条件 $u(x,0)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$ 意味着解从静止状态开始, 并且初速度为零. 这通常限制了解的初始增长速率, 可能使得解随时间的增长更为有界. 这对于确定拉普拉斯变换的收敛性是积极的, 因为解不会立即或无限制地增长.

3. 拉普拉斯变换的收敛性

使用前述条件, 可以假设对于实数 $s>0$, 解 $u(x,t)$ 的拉普拉斯变换 $U(x,s)$ 是收敛的. 具体来说, 因为初始条件限制了 $t=0$ 时解和解的时间导数都为零, 解的增长可能被较好地控制, 从而 $e^{-st}$ 项确保了拉普拉斯变换的积分收敛.

4. 积分与导数的交换

由于 $u(x,t)$ 及其时间导数满足初始条件的控制, 并且解的形式可能是周期性的 (例如由三角函数组成) , 这些都有助于积分与导数的交换. 特别是, 如果解的空间导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 保持有界 (这是由解的形式和边界条件暗示的) , 那么按照 Leibniz 积分规则, 对空间变量的导数可以与拉普拉斯变换积分安全交换:

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial u}{\partial x}\right\}=\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\infty }u(x,t)e^{-st}dt\right)=\frac{\partial U(x,s)}{\partial x}$$

关键依据

• 收敛性: 由于解和其时间导数在 $t=0$ 时为零，以及解的可能有界增长，这支持了拉普拉斯变换的收敛性。
• 函数的有界性和控制的增长：解的形式（可能包含三角函数等）和边界条件保证了空间导数的有界性。
• 解的形式和周期性：解可能的周期性有助于积分与导数的交换，因为周期函数通常在积分和导数操作下保持良好的性质。

在实际应用中，可能还需要进一步的数值模拟或解析计算来验证这些判断。