例题-非齐次波动方程求解

给定的偏微分方程是：

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + sin (π t) sin (π x)$

这是一个非齐次的波动方程。波动方程的一般形式为：

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + f (x, t)$

其中 $c$ 是波速， $f (x, t)$ 是源项。在这里，假设 $c = 1$ ，则我们得到：

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + sin (π t) sin (π x)$

分离变量法

首先考虑齐次问题：

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

我们假设解 $u (x, t)$ 可以分离变量，即 $u (x, t) = X (x) T (t)$ 。

代入齐次波动方程，得到：

$X (x) \frac{d ^{2} T ( t )}{d t ^{2}} = T (t) \frac{d ^{2} X ( x )}{d x ^{2}}$

分离变量：

$\frac{1}{T ( t )} \frac{d ^{2} T ( t )}{d t ^{2}} = \frac{1}{X ( x )} \frac{d ^{2} X ( x )}{d x ^{2}} = - λ$

其中 $λ$ 是分离常数。这样得到两个常微分方程：

$\frac{d ^{2} T ( t )}{d t ^{2}} + λ T (t) = 0$

$\frac{d ^{2} X ( x )}{d x ^{2}} - λ X (x) = 0$

其解为：

$T (t) = A cos (λ t) + B sin (λ t)$

$X (x) = C cos (λ x) + D sin (λ x)$

于是，齐次解的通解为：

$u_{h} (x, t) = (A cos (λ t) + B sin (λ t)) (C cos (λ x) + D sin (λ x))$

对于非齐次项 $sin (π t) sin (π x)$ ，我们寻找特解。由于源项的形式是 $sin (π t) sin (π x)$ ，我们尝试特解的形式：

$u_{p} (x, t) = A sin (π t) sin (π x)$

将其代入原方程：

$\frac{\partial ^{2} u _{p}}{\partial t ^{2}} = - A π^{2} sin (π t) sin (π x)$

$\frac{\partial ^{2} u _{p}}{\partial x ^{2}} = - A π^{2} sin (π t) sin (π x)$

所以，

$- A π^{2} sin (π t) sin (π x) = - A π^{2} sin (π t) sin (π x) + sin (π t) sin (π x)$

这意味着我们需要 $A π^{2} = 1$ ，即 $A = \frac{1}{π ^{2}}$ 。所以特解为：

$u_{p} (x, t) = \frac{1}{π ^{2}} sin (π t) sin (π x)$

最终解为齐次解与特解的叠加：

$u (x, t) = u_{h} (x, t) + u_{p} (x, t)$

$u (x, t) = (A cos (λ t) + B sin (λ t)) (C cos (λ x) + D sin (λ x)) + \frac{1}{π ^{2}} sin (π t) sin (π x)$

通过适当的初始条件和边界条件，可以确定常数 $A, B, C, D$ 的值。

波动方程的解法可以概括为：