82-sc-r4 問題2 問2

题目

Transclude of 82-sc-r4#専門試験問題2問2

求解

与えられた問題では、3次元空間で等速円運動する点の速度を、回転軸の方向ベクトル$\vec{p}$と角速度$\omega$を用いて表現する行列$C$を求める必要があります. この問題は、点の速度が位置ベクトルと回転軸ベクトルの外積に角速度を掛けたものに等しいことから解くことができます.
在给定的问题中, 需要利用旋转轴的方向向量 $\vec{p}$ 和角速度 $\omega$ 求矩阵 $C$, 以表示在三维空间中匀速圆周运动的点的速度. 这个问题的解法是: 点的速度等于位置向量与旋转轴向量的外积乘以角速度.
まず、$\vec{p}=(p_1,p_2,p_3{)}^T$として、位置ベクトル$\vec{x}(t)$との外積を考えると、次のようになります:
首先, 当 $\vec{p}=(p_1,p_2,p_3{)}^T$ 时, 与位置向量 $\vec{x}(t)$ 的外积为

$$\vec{\omega }\times \vec{x}(t)=\omega \left[\begin{array}{ccc}0& -p_3& p_2\\ p_3& 0& -p_1\\ -p_2& p_1& 0\end{array}\right]\vec{x}(t)$$

ここで、外積の結果を行列とベクトルの積で表しています. この行列は、$\vec{p}$に関する外積行列に$\omega$を乗じたものであり、角速度と回転軸を反映します.
这里, 外积的结果表示为一个矩阵与一个向量的乘积. 这个矩阵是$\vec{p}$乘以$\omega$的外积矩阵, 反映了角速度和旋转轴.
したがって、行列$C$は次のように表されます:
因此, 矩阵 $C$ 可以表示如下:

$$C=\omega \left[\begin{array}{ccc}0& -p_3& p_2\\ p_3& 0& -p_1\\ -p_2& p_1& 0\end{array}\right]$$

この行列$C$を使用すると、$\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=C\vec{x}(t)$と表現でき、これは点の速度ベクトルが時刻$t$においてどのように位置ベクトル$\vec{x}(t)$から導かれるかを示します. これは、3次元空間での等速円運動の性質を利用した表現であり、速度が位置ベクトルに直交することを数学的に明示しています.
使用这个矩阵 $C$ , 我们可以表示 $\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=C\vec{x}(t)$, 这说明了在时间 $t$ 时, 一个点的速度矢量是如何从其位置矢量 $\vec{x}(t)$ 得出的. 这种表示法利用了三维空间中匀速圆周运动的特性, 在数学上明确了速度与位置矢量的正交关系.

预备知识

角速度

角速度是一个向量, 用于描述物体旋转的速率和旋转轴的方向. 在物理学中, 角速度通常用符号 $\omega$ 表示. 角速度的大小表示单位时间内旋转的角度( 通常以弧度/秒计) , 方向则沿着旋转轴, 遵循右手法则( 即当你的右手的四指指向旋转方向时, 伸出的大拇指指向的方向即为角速度的方向) .
例如, 如果一个物体绕z轴按逆时针方向旋转, 其角速度向量将指向z轴的正方向.

旋转矩阵

旋转矩阵是一个用于描述空间中物体围绕一个点旋转的线性变换的矩阵. 在三维空间中, 旋转矩阵是一个 $3\times 3$ 的正交矩阵, 且行列式为 +1. 这样的矩阵可以表示任何围绕原点的旋转.
假设有一个固定旋转轴, 由单位向量 $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ 表示, 物体绕这个轴旋转一个角度 $\theta$, 则其旋转矩阵 $R$ 可以用罗德里格斯公式( Rodrigues’ rotation formula) 表示:

$$R=I+(\sin \theta )K+(1-\cos \theta )K^2$$

其中, $I$ 是单位矩阵, $K$ 是基于旋转轴 $\vec{n}$ 的斜对称矩阵:

$$K=\left[\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right]$$

从角速度到旋转矩阵

在动力学中, 如果知道一个物体的角速度 $\omega$, 我们可以通过上述斜对称矩阵 $K$ 表达其瞬时旋转. 当需要从角速度向量 $\vec{\omega }=\omega \vec{n}$ 计算某一瞬时的旋转时, 可以构建一个等效的旋转矩阵 $C$, 用以近似小时间段 $\Delta t$ 内的旋转:

$$C\approx I+K\Delta t$$

这种情况下的 $K$ 直接取决于 $\vec{\omega }$, 其表达式为:

$$K=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right]$$

转轴向量

在三维空间中, 定义一个固定的转轴单位向量 $\vec{n}$ 对于描述和计算围绕这个轴的旋转动作非常有用.

1. 明确旋转轴方向: 单位向量 $\vec{n}$ 明确指出了旋转轴的方向. 在物理和工程问题中, 知道旋转轴的精确方向对于理解和预测物体的动态行为至关重要. 例如, 考虑陀螺仪或地球自转, 旋转轴的方向决定了许多物理性质和现象, 如陀螺效应和科里奥利力.
2. 简化数学表达: 使用向量 $\vec{n}$ 可以在数学上通过简单的向量运算( 如向量积) 来表达和计算任何围绕该轴的旋转. 例如, 速度向量 $\vec{v}$ 可以通过角速度 $\omega$ 和位置向量 $\vec{r}$ 的向量积 $\omega \vec{n}\times \vec{r}$ 来计算, 这种表示非常直观且易于应用于计算和模拟.
3. 使用旋转矩阵: 在更高级的应用中, $\vec{n}$ 用于构造旋转矩阵, 这种矩阵可以描述和实现复杂的三维空间旋转. 使用罗德里格斯公式( Rodrigues’ formula) , 可以根据 $\vec{n}$ 和旋转角度生成旋转矩阵, 从而在计算机图形、机器人学和航天工程等领域中对三维对象进行精确控制.
4. 优化性能: 在计算和仿真中, 使用单位向量可以减少计算复杂性, 因为单位向量的长度固定为1, 这使得在进行数学运算时可以避免某些复杂的归一化步骤, 从而提高效率.
5. 物理意义: 在物理上, 定义转轴为一个单位向量有助于确保描述的一致性和准确性, 特别是在考虑系统对称性和守恒定律时. 例如, 在分析角动量和扭矩时, 明确旋转轴的方向非常关键.
   定义一个转轴向量 $\vec{n}$ 在解决实际问题时提供了一个清晰、有效的工具, 使得旋转动作的分析和实现更加直接和可靠.

外积矩阵推导

外积矩阵( 也称为反对称矩阵) 来源于向量外积( 叉积) 的定义和性质. 我们可以通过详细推导来解释为什么外积矩阵是这样的.

向量外积

给定两个向量 $a=(a_1,a_2,a_3{)}^T$ 和 $b=(b_1,b_2,b_3{)}^T$, 它们的外积 $a\times b$ 是一个向量, 其每个分量定义如下:

$$a\times b=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$$

使用矩阵表示外积

为了将外积表示为矩阵乘法, 我们可以构造一个矩阵, 使得该矩阵与另一个向量相乘时, 结果是外积.
设 $\mathbf{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3{)}^T$, 我们希望找到一个矩阵 $\Omega$, 使得对于任何向量 $r=(x,y,z{)}^T$, 有:

$$\mathbf{\omega }\times r=\Omega r$$

根据向量外积的定义:

$$\mathbf{\omega }\times r=\left(\begin{array}{c}{\omega }_{2}z-{\omega }_{3}y\\ {\omega }_{3}x-{\omega }_{1}z\\ {\omega }_{1}y-{\omega }_{2}x\end{array}\right)$$

我们可以将这个结果写成矩阵形式:

$$\mathbf{\omega }\times r=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

从而得到矩阵 $\Omega$:

$$\Omega =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$$

应用到具体问题

对于此问题, 我们用到的是旋转轴的单位向量 $n=(n_1,n_2,n_3{)}^T$ 和角速度 $\omega$. 角速度向量 $\mathbf{\omega }$ 可以表示为:

$$\mathbf{\omega }=\omega n=\omega (n_1,n_2,n_3{)}^T$$

将 $\mathbf{\omega }$ 代入上述外积矩阵 $\Omega$, 我们得到:

$$\Omega =\omega \left(\begin{array}{ccc}0& -n_3& n_2\\ n_3& 0& -n_1\\ -n_2& n_1& 0\end{array}\right)$$

结论

矩阵 $\Omega$ 之所以具有上述形式, 是因为它来源于向量外积的定义. 外积矩阵 $\Omega$ 是一个反对称矩阵, 其形式确保了矩阵乘法 $\Omega r$ 产生的结果与向量外积 $\mathbf{\omega }\times r$ 一致. 这是由于外积的每个分量对应于特定的线性组合, 这种组合可以用反对称矩阵来表示.

三维外积矩阵

外积矩阵具有以下规律:

1. 反对称性: 外积矩阵 $\Omega$ 是反对称矩阵, 即 ${\Omega }^T=-\Omega$. 这意味着对角线上的元素为0, 而矩阵中的每个非对角线元素 ${\omega }_{ij}$ 和 ${\omega }_{ji}$ 互为相反数.
2. 生成外积: 外积矩阵 $\Omega$ 与向量 $r$ 相乘的结果 $\Omega r$ 等价于向量 $\mathbf{\omega }$ 与 $r$ 的外积 $\mathbf{\omega }\times r$.
3. 线性变换: 外积矩阵代表了一种特定的线性变换, 这种变换与旋转运动密切相关. 在物理上, 外积矩阵用于描述刚体旋转的角速度向量对位置向量的作用.

二维情况

在二维空间中, 外积( 叉积) 没有具体的几何意义, 因为外积的结果在三维空间中是一个向量, 但在二维空间中只有一个标量结果. 二维空间中的类似操作是叉积的标量版本, 通常称为“平面上的伪向量”.
假设我们有两个二维向量 $a=(a_1,a_2)$ 和 $b=(b_1,b_2)$, 它们的外积( 实际上是一个标量) 定义为:

$$a\times b=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$

对于二维情况, 我们可以用一个反对称矩阵来表示旋转效果. 给定一个二维向量 $r=(x,y{)}^T$ 和一个标量角速度 $\omega$, 我们可以构造一个二维的反对称矩阵 $\Omega$:

$$\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -\omega \\ \omega & 0\end{array}\right)$$

那么, 对于任何二维向量 $r$, 有:

$$\Omega r=\left(\begin{array}{cc}0& -\omega \\ \omega & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\omega y\\ \omega x\end{array}\right)$$

这个结果表示了二维向量 $r$ 在二维平面内以角速度 $\omega$ 旋转后的速度.

规律总结

1. 三维外积矩阵: 是一个反对称矩阵, 其形式为:

$$\Omega =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$$

2. 二维反对称矩阵: 是一个 $2\times 2$ 的反对称矩阵, 其形式为

$$\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -\omega \\ \omega & 0\end{array}\right)$$

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要从给定的叉乘关系 $\omega \vec{p}\times \vec{x}(t)=\omega C\vec{x}(t)$ 中确定对应的反对称矩阵 $C$，我们可以先考虑叉乘在矩阵形式中的表示。设 $\vec{p}=[p_1,p_2,p_3{]}^T$，则与 $\vec{p}$ 相关的反对称矩阵 $P$ 表示为：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& -p_3& p_2\\ p_3& 0& -p_1\\ -p_2& p_1& 0\end{array}\right]$$

此时，叉乘 $\vec{p}\times \vec{x}$ 可以用矩阵乘法 $P\vec{x}$ 来表示。根据题目中的关系，我们有：

$$\omega \vec{p}\times \vec{x}(t)=\omega P\vec{x}(t)=\omega C\vec{x}(t)$$

由于这个等式对所有向量 $\vec{x}(t)$ 都成立，可以去掉标量 $\omega$（假设 $\omega \ne 0$），从而得到：

$$P\vec{x}(t)=C\vec{x}(t)$$

这意味着矩阵 $P$ 和矩阵 $C$ 在数学上是相等的。因此，反对称矩阵 $C$ 与 $P$ 相同，可以直接写为：

$$C=\left[\begin{array}{ccc}0& -p_3& p_2\\ p_3& 0& -p_1\\ -p_2& p_1& 0\end{array}\right]$$

这就是我们所求的反对称矩阵，它完全由向量 $\vec{p}$ 的分量决定。