函数

定义

设数集$D\in R$,则称映射$f:D\to R$为定义在$D$上的函数, 记为$y=f(x),x\in D$

函数值$f(x)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域
函数的定义中允许多$x$对一$y$, 不允许一$x$对多y, 这种关系称为函数关系
比函数关系更广泛的概念称为 (关系)(Relation)

Example

关系(Relation): $x^2+y^2=R^2$
函数关系(Functional Relation): $y=\sqrt{R^2-x^2}$
直线: $y=2$
绝对值函数: $y=|x|$
符号函数: $y=sgn(x)$
取整函数: $y=[x]$
分段函数: 上面几种都是
通常可以用几个式子来表示一个函数, 比如玻意耳定律和范德瓦尔斯方程
$p={\{}_{\frac{k}{V},(V\ge V_0)}^{\frac{\gamma }{V-\beta }-\frac{\alpha }{V^2},(\beta <V<V_0)}$

简介

函数是数学分析的核心对象，描述两个数集间的确定性对应关系。作为映射在实数域上的特例，函数在微积分、微分方程等领域具有基础性地位。

定义

形式化定义

设非空数集 $D\subseteq \mathbb{R}$，若存在对应法则 $f$ 使得：
$\forall x\in D,\exists !y\in \mathbb{R}\text{满足}y=f(x)$
则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作：
$f:D\to \mathbb{R},x\mapsto y$

三要素：

1. 定义域（Domain）：自变量 $x$ 的取值范围 $D$
2. 对应法则（Mapping Rule）：确定 $y$ 值的计算规则 $f$
3. 值域（Range）：$R_f=\{f(x)\mid x\in D\}$

与关系区别

函数要求唯一性：每个 $x$ 对应唯一 $y$
而关系允许一对多，如圆方程 $x^2+y^2=R^2$ 是关系但不是函数

函数表示

解析表示法

• 显函数：$y=\sqrt{R^2-x^2}$
• 隐函数：$F(x,y)=0$
• 参数方程：$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\sin t\end{array}$

特殊函数类型

函数类型	表达式	图形特征
绝对值函数	$y=x$	V型折线
符号函数	$\mathrm{sgn}(x)$	三段阶梯
取整函数	$y=[x]$	阶梯状间断
分段函数	见右例	多段式组合

分段函数示例（范德瓦尔斯方程）：

$$p(V)=\{\begin{array}{ll}\frac{\gamma }{V-\beta }-\frac{\alpha }{V^2},& \beta <V<V_0\\ \frac{k}{V},& V\ge V_0\end{array}$$

基本特性

1. 有界性
   $\exists M>0,\forall x\in D,|f(x)|\le M$
2. 单调性
   在区间 $I\subseteq D$ 上：
   • 严格递增：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
   • 严格递减：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$
3. 对称性
   • 偶函数：$f(-x)=f(x)$
   • 奇函数：$f(-x)=-f(x)$
4. 周期性
   $\exists T>0,\forall x\in D,f(x+T)=f(x)$
5. 连续性
   $\forall x_0\in D,\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

函数构造

定义域确定原则

1. 分式函数：分母 $\ne 0$ ：$f(x)=\frac{1}{x^2-4}\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$
2. 偶次根式：被开方数 $\ge 0$ ：$f(x)=\sqrt{4-x^2}\Rightarrow D=[-2,2]$
3. 对数函数：真数 $>0$ ：$f(x)=\ln (x+3)\Rightarrow D=(-3,+\infty )$
4. 反三角函数：
   • $\arcsin x$：$x\in [-1,1]$
   • $\arccos x$：$x\in [-1,1]$

函数等价判定

两函数 $f,g$ 相等的充要条件：

1. 定义域相同：$D_f=D_g$
2. 对应法则一致：$\forall x\in D_f,f(x)=g(x)$

常见错误

以下函数看似不同实则等价：

• $f(x)=\ln (x^2)$ 与 $g(x)=2\ln |x|$（定义域均为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$）
• $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 与 $g(x)=x+1$（$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$，$D_g=\mathbb{R}$）