R05-数学-微积分

解析学・微積分 (Analysis and calculus)

(1) $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)=\cos x$ の $k$ 階導関数を $f^{(k)}(x)$ で表す。以下の各問いに答えよ。
(a) 全ての $k\ge 1$ について $f^{(k)}(0)$ を求めよ。
(b) $f(x)$ の原点周りでのテイラー級数を

$$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$$

とするとき、全ての $k\ge 0$ に関する $a_k$ を求めよ。
(c) 全ての $x\in \mathbb{R}$ について

$$\sum _{k=0}^{\infty }|a_k{x}^k|$$

が収束することを示せ。
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。なお、$y^{\prime }$ は関数 $y(x)$ の $x$ に関する 1 階導関数を表している。

$$y^{\prime \prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+12y=0$$

(3) 開曲線 $C$ に沿った複素積分

$${\int }_C\frac{1}{z(z^2-1)}dz$$

を求めよ。ただし、$C$ は円 $|z|=r$, $r>0$ かつ $r\ne 1$ とする。

中文翻译

(1) 对于 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=\cos x$，其 $k$ 阶导数记为 $f^{(k)}(x)$。请回答以下问题。
(a) 求所有 $k\ge 1$ 的 $f^{(k)}(0)$。
(b) 设 $f(x)$ 在原点附近的泰勒级数为

$$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$$

求所有 $k\ge 0$ 的 $a_k$。
(c) 证明对于所有 $x\in \mathbb{R}$，

$$\sum _{k=0}^{\infty }|a_k{x}^k|$$

收敛。
(2) 求以下微分方程的一般解，其中 $y^{\prime }$ 表示函数 $y(x)$ 对 $x$ 的一阶导数。

$$y^{\prime \prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+12y=0$$

(3) 计算沿开曲线 $C$ 的复积分

$${\int }_C\frac{1}{z(z^2-1)}dz$$

其中 $C$ 是圆 $|z|=r$, $r>0$ 且 $r\ne 1$。

---

解答

(1)

(a)

$\cos x$ 的导数为 ${\cos }^{(k)}(x)=\cos \left(x+\frac{k\pi }{2}\right)$，因此 $f^{(k)}(0)=\cos \left(\frac{k\pi }{2}\right)$。

(b)

$\cos x$ 的泰勒级数为

$$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}$$

因此，$a_k=\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}$ 当 $k$ 为偶数，否则 $a_k=0$。
(c) 由于 ${\sum }_{k=0}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}\right|$ 是绝对收敛的，因此原级数收敛。

(2)

特征方程为 $r^4-2r^3-r^2-4r+12=0$，解得 $r=2,2,-1,-3$。因此，一般解为

$$y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{2x}+C_3{e}^{-x}+C_4{e}^{-3x}$$

(3)

被积函数在 $z=0,1,-1$ 处有极点。根据留数定理，积分值为 $2\pi i\left(\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,1)+\text{Res}(f,-1)\right)$。计算得积分值为 $0$。