R05-数学-概率统计

確率・統計

箱の中に5枚のコイン（コイン1～コイン5）がある。箱から一様ランダムにコインを1枚選んで何度か投げる試行を考える。ただし、それぞれのコイン $i$ の表が出る確率 $p_i$ は次の通りである。

$$p_1=0,p_2=\frac{1}{4},p_3=\frac{1}{2},p_4=\frac{3}{4},p_5=1$$

表が出る事象を $H$ とし、コイン $i$ が選ばれる事象を $C_i$ とする。
(1) 選んだコインを1回投げるとする。表が出る確率 $p(H)$ を答えよ。
(2) 選んだコインを1回投げたところ表が出たとする。条件付き確率 $p(C_i|H)$ を $i=1,\dots ,5$ についてそれぞれ求めよ。
(3) 選んだコインを2回投げるとする。条件付き確率 $p(H_2|H_1)$ を求めよ。ただし $H_j$ は $j$ 回目に表が出る事象であり、$j=1,2$ である。
(4) 選んだコインを4回投げるとする。$p(C_i|B_4)$ を $i=1,\dots ,5$ についてそれぞれ求めよ。ただし $B_4$ は4回目に初めて表が出る事象を表す。

Probability and statistics

中文翻译

箱中有5枚硬币（硬币1～硬币5）。从箱中随机选择一枚硬币并进行多次投掷。每枚硬币 $i$ 的正面概率 $p_i$ 如下：

$$p_1=0,p_2=\frac{1}{4},p_3=\frac{1}{2},p_4=\frac{3}{4},p_5=1$$

设 $H$ 为出现正面的事件，$C_i$ 为选择硬币 $i$ 的事件。
(1) 选择一枚硬币并投掷一次。求出现正面的概率 $p(H)$。
(2) 选择一枚硬币并投掷一次，结果为正面。求条件概率 $p(C_i|H)$，$i=1,\dots ,5$。
(3) 选择一枚硬币并投掷两次。求条件概率 $p(H_2|H_1)$，其中 $H_j$ 表示第 $j$ 次投掷出现正面，$j=1,2$。
(4) 选择一枚硬币并投掷四次。求条件概率 $p(C_i|B_4)$，$i=1,\dots ,5$，其中 $B_4$ 表示第四次投掷首次出现正面。

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解答

(1) 由于每枚硬币被选中的概率相等，$p(H)=\frac{1}{5}(0+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1)=\frac{1}{2}$。
(2) 根据贝叶斯定理，

$$p(C_i|H)=\frac{p(H|C_i)p(C_i)}{p(H)}=\frac{p_i\cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{2p_i}{5}$$

因此，$p(C_1|H)=0$，$p(C_2|H)=\frac{1}{10}$，$p(C_3|H)=\frac{1}{5}$，$p(C_4|H)=\frac{3}{10}$，$p(C_5|H)=\frac{2}{5}$。
(3) 由于每次投掷独立，$p(H_2|H_1)=p(H_2)=\frac{1}{2}$。
(4) $B_4$ 表示前三次均为反面，第四次为正面。