82-sc-r5

専門試験

問題1

問1

3次元空間に直交座標系 $O-xyz$ をとる。 $x^2+y^2\le 1$, $0\le z\le 1$ で定められる 領域$V$の表面を$S$とする。 ベクトル場$A$が$A=(x,y,0)$で与えられる場合に次式の$S$上における法線面積分$I_A$を計算せよ。
$I_A={\int }_{S}A\cdot dS$
ただし，面積要素ベクトル$dS$は領域$V$の外向きを正とする。
82-sc-r5 問題1 問1

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問題2

問1

$$x=[x_1,x_2{]}^T\in {\mathbb{R}}^2$$

として、$x_1$-$x_2$ 平面上に定義されるスカラー場 $\varphi (x)=x^{T}Px$ とベクトル場 $f(x)=Ax$ を考える。ここで、

$$P=\left[\begin{array}{cc}7& \frac{\sqrt{3}}{5}\\ \frac{\sqrt{3}}{5}& 3\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& \frac{\sqrt{3}}{5}\end{array}\right].$$

(1)

$P$ の固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。なお、固有ベクトルは大きさを 1 として正規化せよ。

(2)

$\varphi (x)=8$ を満たす点の集合を $x_1$-$x_2$ 平面上に描け。このとき、(1) で求めた固有ベクトルもあわせて図示せよ。

(3)

ベクトル場 $f(x)$ は常に $\varphi (x)$ が減少する方向に向いている。このことを示すために、原点を除く任意の $x\in {\mathbb{R}}^2$ で $\varphi (x)$ の勾配ベクトル ${\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial x_1},\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}\end{array}\right]}^T$ とベクトル $f(x)$ のなす角度が $\frac{\pi }{2}$ よりも小さいことを示せ。
82-sc-r5 問題1 問2

問2

歪対称行列 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ を考える。歪対称行列とは、$P^T=-P$ を満たす行列である。

(1)

歪対称行列の対角成分は 0 であることを示せ。

(2)

$n$ が奇数のとき、歪対称行列の行列式は 0 であることを示せ。

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問題3

問2

考虑一个有1个输入和2个输出的系统。

\usepackage{tikz}
 
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  % 定义节点
  \node (input) at (0, 0) {input $u$};
  \node (system) at (3, 0) [rectangle, draw, minimum width=2cm, minimum height=1cm] {System};
  \node (output1) at (6, 0.5) {output $v$};
  \node (output2) at (6, -0.5) {output $w$};
 
  % 连接箭头
  \draw[->] (input) -- (system.west);
  \draw[->] (system.east) -- ++(0.5, 0.5) -- (output1.west);
  \draw[->] (system.east) -- ++(0.5, -0.5) -- (output2.west);
  
\end{tikzpicture}
\end{document}

已知得到了$N$组输入输出数据$\{(u_i,v_i,w_i)|i=1,2,...,N\}$。使用这些数据来通过最小二乗法拟合以下两个回归模型：
$v=au+a+b$
$w=a{u}^2-2au+a+b$

(1)

求解 $v$ 的残差二乗和 $E_v$ 和 $w$ 的残差二乗和 $E_w$。

(2)

求使得 $E=E_v+E_w$ 最小的参数 $a$ 和 $b$。通过解决一个系统方程来找到最优的 $a$ 和 $b$。系统中已经定义了参数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\xi$, $\eta$ 来表达某些和 $u$、$v$、$w$ 相关的累加或累乘项。给定条件 $\alpha \beta -{\gamma }^2\ne 0$，确保系统方程有解。

$$\left[\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \\ \gamma & \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]$$

最小二乘法例题