82-sc-r5 問題1 問2

问题 2

问 1

给定矩阵$P$和$A$如下：

$$P=\left(\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right)$$ $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -\sqrt{3}\end{array}\right)$$

1. 计算$P$的特征值和特征向量：

   步骤：

   • 计算$P$的特征值$\lambda$，通过解特征方程$\det (P-\lambda I)=0$。
   • 对于每个特征值$\lambda$，计算对应的特征向量$\mathbf{v}$，使得$(P-\lambda I)\mathbf{v}=0$。
   • 将特征向量归一化为单位向量。

   解答：

   • 计算特征值：
   $$\det \left(\begin{array}{cc}7-\lambda & \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5-\lambda \end{array}\right)=(7-\lambda )(5-\lambda )-(\sqrt{3}{)}^2={\lambda }^2-12\lambda +32$$

   设${\lambda }^2-12\lambda +32=0$，解得${\lambda }_1=8$和${\lambda }_2=4$。

   • 计算特征向量：

     对于${\lambda }_1=8$：

   $$(P-8I)=\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right)$$

   解$(P-8I)\mathbf{v}=0$，得特征向量${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$，归一化后${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$。

   对于${\lambda }_2=4$：

   $$(P-4I)=\left(\begin{array}{cc}3& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$$

   解$(P-4I)\mathbf{v}=0$，得特征向量${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{-\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$，归一化后${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{-\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$。

2. 绘制$\varphi (\mathbf{x})=8$的等值线，并标出特征向量：

   -$\varphi (\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}P\mathbf{x}=8$表示一个椭圆。设定$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，等式化为$(x_1,x_2)\left(\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=8$。

   • 可以用图形工具绘制椭圆，并在图上标出特征向量${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$。

3. 证明向量$\mathbf{f}(\mathbf{x})$总是指向$\varphi (\mathbf{x})$减少的方向：

   • 计算$\varphi (\mathbf{x})$的梯度：
   $$\nabla \varphi (\mathbf{x})=2P\mathbf{x}$$
   • 计算$\mathbf{f}(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$。
   • 证明梯度与$\mathbf{f}(\mathbf{x})$的夹角总是大于$\frac{\pi }{2}$：
     夹角$\theta$满足$\cos \theta =\frac{\nabla \varphi (\mathbf{x}{)}^T\mathbf{f}(\mathbf{x})}{\Vert \nabla \varphi (\mathbf{x})\Vert \Vert \mathbf{f}(\mathbf{x})\Vert }$。
     证明$\cos \theta \le 0$即$\theta \ge \frac{\pi }{2}$。

问 2

1. 证明斜对称矩阵的对角元素为 0：

   斜对称矩阵满足$P^T=-P$。设$P$的对角元素为$p_{ii}$，则：

$$(P^T{)}_{ii}=P_{ii}=-P_{ii}⟹P_{ii}=0$$

2. 证明当$n$为奇数时，斜对称矩阵的行列式为 0：

   • 斜对称矩阵的行列式具有如下性质：$\det (P)=\det (-P)=(-1{)}^n\det (P)$。
   • 当$n$为奇数时，$(-1{)}^n=-1$，因此$\det (P)=-\det (P)⟹\det (P)=0$。

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对于给定的矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right]$，二次型 $\varphi (x)=x^{T}Px=8$ 表示一个椭圆。要确定这个椭圆的详细特征（如半长轴、半短轴和旋转角度），我们需要对矩阵 $P$ 进行特征值分解。

1. 对矩阵 $P$ 进行特征值分解

首先计算矩阵 $P$ 的特征值和特征向量：

$$P=\left[\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right]$$

计算特征值和特征向量：

$$\text{det}(P-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}7-\lambda & \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5-\lambda \end{array}\right|=(7-\lambda )(5-\lambda )-(\sqrt{3}{)}^2={\lambda }^2-12\lambda +32=0$$

求解特征值 $\lambda$：

$${\lambda }^2-12\lambda +32=0\Rightarrow \lambda =\frac{12\pm \sqrt{144-128}}{2}=\frac{12\pm 4}{2}\Rightarrow {\lambda }_1=8,{\lambda }_2=4$$

特征值分别为 $8$ 和 $4$。

接下来计算对应的特征向量：

对于 ${\lambda }_1=8$：

$$\left[\begin{array}{cc}7-8& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5-8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0$$

解得特征向量：

$$\left[\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0\Rightarrow x_1=\sqrt{3}{x}_2\Rightarrow \text{特征向量为}\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right]$$

归一化得到：

$$q_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right]$$

对于 ${\lambda }_2=4$：

$$\left[\begin{array}{cc}7-4& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5-4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=0$$

解得特征向量：

$$\left[\begin{array}{cc}3& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=0\Rightarrow y_1=-\sqrt{3}{y}_2\Rightarrow \text{特征向量为}\left[\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right]$$

归一化得到：

$$q_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right]$$

2. 计算半长轴和半短轴

根据特征值 ${\lambda }_1=8$ 和 ${\lambda }_2=4$：

$$a=\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_1}}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}},b=\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_2}}=\frac{1}{2}$$

3. 计算旋转角度

特征向量 $q_1$ 和 $q_2$ 与坐标轴之间的夹角：

$$q_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right],q_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$\theta$ 是主轴与 $x$ 轴的夹角，由 $q_1$ 的方向确定：

$$\theta =\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$$

4. 绘制椭圆

利用这些参数，我们可以绘制椭圆：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 矩阵 P
P = np.array([[7, np.sqrt(3)],
              [np.sqrt(3), 5]])
 
# 特征值和特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(P)
 
# 半长轴和半短轴
a = 1 / np.sqrt(eigvals[1])
b = 1 / np.sqrt(eigvals[0])
 
# 生成椭圆点
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
ellipse = np.array([a * np.cos(theta), b * np.sin(theta)])
 
# 旋转椭圆
R = eigvecs
rotated_ellipse = R @ ellipse
 
# 绘制椭圆
plt.plot(rotated_ellipse[0, :], rotated_ellipse[1, :], label='Ellipse')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.legend()
plt.title('$x^T P x = 8$')
plt.show()

通过这些步骤，可以从二次型 $\varphi (x)=x^{T}Px=8$ 中提取出椭圆的特征并绘制出相应的图形。

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二次型 $x^{T}Px$ 可以表示一个椭圆，但这取决于矩阵 $P$ 的性质以及二次型方程右边的常数。在二维情况下，如果 $P$ 是正定的，二次型 $x^{T}Px=c$（其中 $c$ 是一个正数）描述的是一个椭圆。

椭圆的方程

在二维空间中，如果 $P$ 是正定矩阵，那么 $x^{T}Px=c$ 描述的是一个椭圆。假设 $P$ 经过特征值分解可以表示为 $P=Q\Lambda Q^T$，其中 $Q$ 是包含 $P$ 的特征向量的正交矩阵，$\Lambda$ 是对角线上为 $P$ 的特征值的对角矩阵。此时，二次型可以重写为：

$$x^{T}Px=x^{T}Q\Lambda Q^{T}x=(Q^{T}x{)}^T\Lambda (Q^{T}x)$$

设 $y=Q^{T}x$，则有：

$$y^T\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2=c$$

其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是 $\Lambda$ 对角线上的元素（$P$ 的特征值），而 $y_1,y_2$ 是变换后的坐标系中的坐标。将上述方程整理可得：

$$\frac{y_1^2}{c/{\lambda }_1}+\frac{y_2^2}{c/{\lambda }_2}=1$$

这是一个标准的椭圆方程，其中半轴的长度分别为 $\sqrt{c/{\lambda }_1}$ 和 $\sqrt{c/{\lambda }_2}$。

椭圆方程的右边

在椭圆的标准方程中，右边通常是 1。如果右边是其他数字 $d$，则方程变为：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=d$$

为了将其标准化成椭圆方程，我们可以除以 $d$：

$$\frac{x^2}{a^2/d}+\frac{y^2}{b^2/d}=1$$

这意味着实际的半轴变为 $\sqrt{a^2/d}$ 和 $\sqrt{b^2/d}$。当 $d$ 增大时，椭圆变小；当 $d$ 减小时，椭圆变大。

椭圆的变化

如果方程右边的常数 $c$ 变化，则椭圆的大小相应变化。更具体地说：

• 当 $c$ 增加时，椭圆的大小增大，因为半轴 $\sqrt{c/{\lambda }_1}$ 和 $\sqrt{c/{\lambda }_2}$ 都会变大。
• 当 $c$ 减少时，椭圆的大小减小。

这种方式通过改变等式右边的常数 $c$，直接影响了椭圆的尺寸，但保持了其形状和方向。

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当椭圆方程的右边从标准的 1 变为其他数值（例如 8），这实际上对椭圆的大小有直接的影响。这里，我们考虑的方程是：

$$\frac{x^2}{a^2/d}+\frac{y^2}{b^2/d}=8$$

调整方程的形式

首先，将方程整理为标准的椭圆形式，我们可以通过将方程两边除以 8 来实现：

$$\frac{x^2}{(a^2/d)/8}+\frac{y^2}{(b^2/d)/8}=1$$

简化一下得：

$$\frac{x^2}{a^2/(8d)}+\frac{y^2}{b^2/(8d)}=1$$

椭圆的变化解释

上面的方程表明椭圆的新半轴长度为：

• 半长轴的长度：$\sqrt{a^2/(8d)}$
• 半短轴的长度：$\sqrt{b^2/(8d)}$

对椭圆的实际影响

当方程右边的数值由 1 变为 8 时，根据上述调整后的方程，椭圆的半长轴和半短轴实际上都变小了。具体来说：

• 半长轴和半短轴都被除以 $\sqrt{8}$，这意味着椭圆的每个轴长都缩小了。
• 这种缩小等同于将每个轴长乘以 $\frac{1}{\sqrt{8}}\approx 0.354$，相比原来的尺寸缩小了。

几何直观

从几何上看，如果原来的椭圆方程是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，这个椭圆拥有半轴 $a$ 和 $b$。将方程右边改为 8 后，实际上是将整个椭圆沿着原点对称地缩小了 $\sqrt{8}$ 倍，得到了一个更小的椭圆，其半轴为 $\frac{a}{\sqrt{8}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{8}}$。

这种变换可以在各种图形处理软件或者通过数学工具进行可视化，以更直观地理解椭圆的这种变化。

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二次型 $x^{T}Px=c$ 中的特征值与椭圆的拉伸有直接关系。这里的特征值 ${\lambda }_1=8$ 和 ${\lambda }_2=4$ 表示矩阵 $P$ 沿其特征向量方向的缩放因子的倒数。如果你的二次型方程是 $x^{T}Px=8$，那么椭圆的半长轴和半短轴可以通过以下方式计算：

从特征值到椭圆的半轴长度

对于二次型方程 $x^{T}Px=c$，其与椭圆方程的对应关系为：

$$\frac{y_1^2}{c/{\lambda }_1}+\frac{y_2^2}{c/{\lambda }_2}=1$$

其中，$y_1$ 和 $y_2$ 是在特征向量定义的新坐标系中的坐标。对于这种情况：

• 半长轴 $a$ 对应较小的特征值（因为较小的特征值对应较大的分母，从而产生较长的轴），即 ${\lambda }_2=4$。
• 半短轴 $b$ 对应较大的特征值（因为较大的特征值对应较小的分母，从而产生较短的轴），即 ${\lambda }_1=8$。

因此：

$$a=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{2},b=\sqrt{\frac{8}{8}}=1$$

解释

• 特征值 ${\lambda }_1=8$ 和 ${\lambda }_2=4$ 表示在各自的特征向量方向上，二次型方程形成的椭圆被拉伸的程度。具体来说，${\lambda }_2=4$ 对应的方向上拉伸较少（因为 $c/{\lambda }_2=2$），而 ${\lambda }_1=8$ 对应的方向上拉伸更多（因为 $c/{\lambda }_1=1$）。
• ${\lambda }_1=8$ 表示在这个方向上的拉伸因子是 $\sqrt{8/c}=\sqrt{1}=1$，这意味着在此方向上长度没有放缩，保持原始大小。
• ${\lambda }_2=4$ 表示在这个方向上的拉伸因子是 $\sqrt{8/c}=\sqrt{2}$，这意味着在此方向上长度放大了 $\sqrt{2}$ 倍。

几何直观

这种几何直观的解释是基于标准椭圆的尺寸和特征值的倒数关系。较大的特征值导致较小的分母，因此在这个方向上的拉伸程度较小，产生较短的轴；而较小的特征值则导致较大的分母，因此在这个方向上的拉伸程度较大，产生较长的轴。这解释了二次型的特征值如何影响椭圆形状的拉伸。