目录
1. 点集拓扑
- 拓扑空间的定义
- 开集与闭集的基本性质
- 拓扑基与子基
- 子空间拓扑
- 连续函数与同胚
- 连续性的拓扑定义
- 同胚与拓扑等价
- 分离性与紧致性
- T0、T1、T2（Hausdorff）分离公理
- 紧致性与极限点紧性
- 紧性与有限覆盖
- 连通性
- 连通空间与路径连通
- 局部连通性
- 度量化与嵌入
- 度量空间与拓扑的关系
- Urysohn嵌入定理
2. 代数拓扑
- 基本群与覆盖空间
- 基本群的定义与性质
- 覆盖空间与铺覆
- Van Kampen定理
- 同调理论
- 奇异同调与胞腔同调
- Mayer-Vietoris序列
- 上同调理论
- 上同调群的定义
- 上同调群的性质与计算
- 同伦论
- 同伦等价与退化映射
- 高阶同伦群的初步讨论
3. 几何拓扑
- 拓扑流形
- 拓扑流形的定义与分类
- 高维流形的基本性质
- 结理论
- 结的拓扑不变量
- 三维流形中的结分解
- 高维几何拓扑
- 手术理论基础
- 高维流形的分解与嵌入
4. 特殊主题
- 紧化理论
- 一点紧化
- Stone-Čech紧化的拓扑构造
- 动态系统与拓扑
- 拓扑动力系统的基本理论
- 动态行为的拓扑分类
- 纤维丛与覆盖空间
- 纤维丛的定义
- 主丛与联络的初步讨论
5. 应用方向
- 数据科学中的拓扑
- 拓扑数据分析（TDA）
- 持久性同调与可视化
- 数学物理中的拓扑
- 拓扑场论的基础
- 流形与规范场论的拓扑性质