隐函数求导

简介

在微积分中, 我们不仅需要处理 $y=f(x)$ 形式的显函数, 还会遇到由方程 $F(x,y)=0$ 定义的隐函数. 本文档主要探讨如何在不将隐函数“显化”的情况下求出其导数 $\frac{dy}{dx}$.

定义

一般而言, 形如 $y=f(x)$ 这样明确表示出因变量 $y$ 和自变量 $x$ 之间关系的函数称为显函数.

隐函数

隐函数

隐函数是由隐式方程间接定义的函数。
例如, $y=\sqrt{1-x^2}$ 是由方程 $x^2+y^2-1=0$ 所确定的函数。
而直接用自变量表达的函数称为显函数, 如 $y=\cos x$。

Link to original

隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会给出定义良好的隐函数。

隐函数定理

隐函数定理

对于一个由关系

$$f(x,y)=0$$

表示的隐函数，如果它在某一点的偏导数满足一定条件，则在该点的邻域内，$y$ 可以表示为关于 $x$ 的显函数：

$$y=h(x)$$

这样就将隐函数关系转化为常见的函数关系形式。

Link to original

隐函数求导方法

当函数 $y=f(x)$ 由方程 $F(x,y)=0$ 确定时, 可使用隐函数求导法求其导数 $\frac{dy}{dx}$, 而无需将其显化:

1. 将方程 $F(x,y)=0$ 两边同时对 $x$ 求导.
2. 在求导过程中, 视 $y$ 为 $x$ 的函数, 即 $y=y(x)$. 任何包含 $y$ 的项都需使用链式法则, 例如 $\frac{d}{dx}(y^n)=n{y}^{n-1}\cdot \frac{dy}{dx}$.
3. 求导后, 得到一个包含 $x$, $y$, 和 $\frac{dy}{dx}$ 的新方程.
4. 通过代数运算, 解出 $\frac{dy}{dx}$.

示例

求由方程 $x^2+y^2=25$ 所确定的隐函数在点 $(3,4)$ 处的导数.
解:

1. 方程两边同时对 $x$ 求导 (注意 $y$ 是 $x$ 的函数, 使用链式法则):
   $\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(25)$
   $2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}=0$
2. 解出 $\frac{dy}{dx}$:
   $2y\frac{dy}{dx}=-2x$
   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$
3. 代入点 $(3,4)$:
   ${\frac{dy}{dx}|}_{(3,4)}=-\frac{3}{4}$

---

推广: 对数求导法

在某些情况下, 即使函数是显函数 $y=f(x)$, 直接求导也可能非常繁琐 (如幂指函数). 此时, 我们可以先将其转化为隐函数形式（通过取对数）再求导. 这种方法称为对数求导法.

对数求导法

对数求导法

当函数形式为 $y=f(x{)}^{g(x)}$ (幂指函数) 或涉及多项的复杂乘积、商、根式时, 可使用对数求导法简化计算:

1. 在方程 $y=f(x)$ 两边同时取自然对数, 得到 $\ln y=\ln [f(x)]$.
2. 利用对数性质 (如 $\ln (a^b)=b\ln a$, $\ln (\frac{a}{b})=\ln a-\ln b$) 简化右侧表达式.
3. 将 $\ln y=g(x)$ (简化后的表达式) 视为隐函数, 两边同时对 $x$ 求导, 得到 $\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=g^{\prime }(x)$.
4. 解出 $\frac{dy}{dx}=y\cdot g^{\prime }(x)=f(x)\cdot g^{\prime }(x)$.

Link to original

示例

幂指函数

求 $y=x^{\sin (x)}$ 的导数.
解:

1. 两边取自然对数:
   $\ln y=\ln (x^{\sin (x)})=\sin (x)\cdot \ln (x)$
2. 将 $\ln y=\sin (x)\cdot \ln (x)$ 视为隐函数, 两边对 $x$ 求导:
   $\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin (x)\cdot \ln (x))$
   $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cos (x)\ln (x)+\sin (x)\cdot \frac{1}{x}$
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$:
   $\frac{dy}{dx}=y\left(\cos (x)\ln (x)+\frac{\sin (x)}{x}\right)$
   $\frac{dy}{dx}=x^{\sin (x)}\left(\cos (x)\ln (x)+\frac{\sin (x)}{x}\right)$

复杂乘积

求 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数.
解:

1. 两边取自然对数并使用对数性质:
   $\ln y=\ln \left({\left(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}\right)}^{1/2}\right)$
   $\ln y=\frac{1}{2}\left[\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4)\right]$
2. 两边对 $x$ 求导:
   $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$:
   $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$