凹凸性

凹凸性描述了函数的图像是向上弯曲（凹）还是向下弯曲（凸）。

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导。
如果 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹的(Concave up)
如果 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的(Concave down)

拐点

拐点是函数凹凸性的转变点。
点 $x=c$ 是函数 $f(x)$ 的拐点当且仅当：

1. $f^{\prime \prime }(c)=0$ 或者 $f^{\prime \prime }(c)$ 不存在；
2. 在 $x=c$ 的左右两侧，$f^{\prime \prime }(x)$ 的正负性改变。

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示例

分析函数$f(x)=x^3$的凹凸性并找出拐点。

1. 求二阶导数：
   • $f^{\prime }(x)=3x^2$
   • $f^{\prime \prime }(x)=6x$
2. 判断二阶导数符号：
   • 当 $x>0$ 时，$f^{\prime \prime }(x)>0$，函数图像是凸的。
   • 当 $x<0$ 时，$f^{\prime \prime }(x)<0$，函数图像是凹的。
3. 寻找拐点：
   • 令 $f^{\prime \prime }(x)=6x=0$，解得 $x=0$。
   • 在 $x=0$ 的左侧，$f^{\prime \prime }(x)<0$；在右侧，$f^{\prime \prime }(x)>0$。符号发生改变。
4. 结论：
   • 函数在 $(-\infty ,0)$ 上是凹的，在 $(0,\infty )$ 上是凸的。
   • 点 $(0,f(0))=(0,0)$ 是该函数的拐点。