双曲函数

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

• 双曲正弦
• 双曲余弦
• 双曲正切
• 反双曲正弦
• 反双曲余弦
• 反双曲正切

双曲函数恒等式

$\cosh (x)-\sinh (x)=1$

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虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果$x$是实数而$i^2=-1$，则

$$\cos (ix)=\cosh (x),-i\sin (ix)=\sinh (x).$$

所以双曲函数$\cosh$和$\sinh$可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成$\cosh$函数，后者形成了$\sinh$函数。$\cos$函数的无穷级数可从$\cosh$得出，通过把它变为交错级数，而$\sin$函数可来自将$\sinh$变为交错级数。上面的恒等式使用虚数$i$，从三角函数的级数的项中去掉交错因子$(-1{)}^n$，来恢复为指数函数的那两部分级数。

$$e^x=\cosh x+\sinh x$$ $$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!},\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!},\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

通过虚数圆角定义

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

双曲正弦：
$sinhx=-i\sin (ix)$

双曲余弦：
$\cosh x=\cos (ix)$

双曲正切：
$\tanh x=-i\tan (ix)$

双曲余切：
$\coth x=i\cot (ix)$

双曲正割：
$\mathrm{sech}x=\sec (ix)$

双曲余割：
$\mathrm{csch}x=i\csc (ix)$

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。