高阶微分方程降阶

从这节开始将讨论二阶以上的微分方程.
如果高阶可以降阶到一阶,就可以用一阶微分方程的求解方法
以下是三个类型的容易降阶的高阶微分方程组

1. $y^{(n)}=f(x)$
2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$
3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

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1. $y^{(n)}=f(x)$

这是一个已经分离变量的微分方程, 连续求积分n次, 即可解得
$y^{n-1}=\int f(x)dx+C_1$
$y^{n-2}=\int [\int f(x)dx+C_1]dx+C_2$
$...$
过于无聊

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2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

第一积分法

设 $y^{\prime }=p$ , 则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$
带入原方程得
$p^{\prime }=f(x,p)$

这是一个一阶线性微分方程, 参照对应解法, 设通解为$p=\varphi (x,C_1)$
但是$p=\frac{dy}{dx}$ ,带入后积分得解
$y=\int \varphi (x,C_1)dx+C_2$

示例

Example

悬链线的推导

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3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

同样可以使用第一积分法, 但原方程不显含x, 需要改写为p对y的函数.
设$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=p$ , 则
$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$
这样原方程就变成p关于y的一阶微分方程
$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$
设他的通解为
$p=\varphi (y,C_1)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$
分离变量并积分得
$\int \frac{dy}{\varphi (y,C_1)}=x+C_2$

示例

Example

考虑方程 $y^{\prime \prime }=y$, 可以用替换变量法进行求解:
设 $y^{\prime }=p$, 则 $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$, 方程变为:

$$p\frac{dp}{dy}=y⟹pdp=ydy$$ $$\frac{p^2}{2}=\frac{y^2}{2}+C⟹p^2=y^2+2C$$ $$(y^{\prime }{)}^2=y^2+2C⟹y^{\prime }=\sqrt{y^2+2C}$$ $$\int \frac{dy}{\sqrt{y^2+2C}}=x+D$$

这个积分的结果涉及反双曲正弦:

$${\sinh }^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{2C}}\right)=x+D$$ $$y=\sqrt{2C}\sinh (x+D)$$

根据初始条件确定 $C$ 和 $D$ 的值.