向量场的曲线积分

二维或三维空间中，沿给定曲线对向量场进行积分，计算向量场与曲线切线方向的点乘在曲线上的积分。
${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
向量场的曲线积分主要解决变力沿曲线做功问题, 这里的$F$就可以理解为向量场(重力场 电场 磁场等), 即为每个位置矢量$r$映射一个向量$F$, $F$沿着特定的方向$r$的分量即为在这个方向上所作的功

性质

与标量场的曲线积分类似, 有以下性质

• 线性
• 线积分区间可加性
• 积分路径的方向性

计算

1. 分量形式
   在二维情况下，向量场 $\mathbf{F}$ 和曲线微分 $\mathbf{r}$ 可分解为各坐标分量：

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{C}P(x,y)dx+{\int }_{C}Q(x,y)dy$$

曲线积分可转化为对坐标的积分。

2. 参数化形式，若曲线 $C$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{rl}x& =\varphi (t)\\ y& =\psi (t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$$

则积分可以表示为参数 $t$ 的定积分：

$${\int }_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(\varphi (t),\psi (t)){\varphi }^{\prime }(t)+Q(\varphi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)\right]dt$$

3. 如果 $x$ 和 $y$ 存在显式关系 $y=\varphi (x)$，积分可以简化为：

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{x_1}^{x_2}P(x,\varphi (x))+Q(x,\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)dx$$

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