标量场的曲线积分

同济版

用于解决不均质光滑曲线的质量问题
${\int }_{L}f(x,y)ds$

• $f(x,y)$为密度分布
• ds为弧长的微元
  由于微元取长度极限趋近于0，所以曲线可以无限趋近于直线，可以用勾股定理分解为dx和dy分量

这里描述为”求密度不均匀不规则弧线段的长度”可能不能指出这种积分的本质，这个积分的本质是对标量场的积分，为什么要强调标量场？因为标量场和向量场的积分行为会有不同, 见向量场的曲线积分

性质

线积分运算的线性

${\int }_L\left[af(x,y)+bf(x,y)\right]ds=a{\int }_{L}f(x,y)ds+b{\int }_{L}f(x,y)ds$

线积分区间可加性

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{L_1}f(x,y)ds+{\int }_{L_2}f(x,y)ds$

保序性

若$f(x,y)\le g(x)$, 则
${\int }_{L}f(x,y)ds\le {\int }_{L}g(x)ds$

绝对值不等式

$\left|{\int }_{L}f(x,y)ds\right|\le {\int }_L|f(x)|ds$

计算

设L的参数方程($\alpha \le t\le \beta$)

\begin{aligned} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{aligned} \right.$$ 则线积分可以转换为普通的定积分 $$\int_L f(x,y) \, ds = \int_{\alpha}^\beta f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{ (\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2 } \, dx $$