向量微分算子

$\nabla$ (nabla) 是向量微分算子, 算子作用于n维空间的向量, 同样得到一个n维向量.
对有正交坐标系的空间中每个维度求一阶偏导数所组成. 在三维直角坐标系中定义为:
$\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$
这个算子可以用于表示三维空间的梯度、散度和旋度:

梯度

对于标量场 $\varphi (x,y,z)$, 梯度是一个向量场:
$\nabla \varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right)$

散度

对于向量场 $\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)$, 散度是一个标量场:
$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

旋度

对于向量场 $\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)$, 旋度是一个新的向量场:
$\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$