伽马函数

定义:

$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx(s>0)$

$\Gamma (s)$的收敛性

$$P(s)={\int }_0^1{e}^{-x}{x}^{s-1}dx+{\int }_1^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx\stackrel{\Delta }{=}{I}_1+I_2$$

推论

1. 递推公式

$$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$$

2. 正整数的递推公式

$$\Gamma (n+1)=n!$$

3. 当$s\to 0^{+}$时, $\Gamma (s)\to +\infty$
4. 余元公式

$$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}(0<s<1)$$

5. 概率论中用于计算正态分布概率密度函数的高斯积分
   

   正半轴形式

   $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$ Link to original