高斯积分

标准形式

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

正半轴形式

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

推导

高斯积分的计算可以通过极坐标转换导出：

考虑积分

$$I={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$$

平方两边：

$$I^2=\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-y^2}dy\right)$$

将二重积分转换为极坐标：

$$I^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta$$

计算角度积分：

$${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$$

计算径向积分：

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr$$

令 $u=r^2$，则 $du=2rdr$：

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-u}du=\frac{1}{2}$$

因此：

$$I^2=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi$$

所以：

$$I=\sqrt{\pi }$$

应用

1. 正态分布：在概率论中，高斯积分用于计算标准正态分布的概率分布。
2. 物理学：在量子力学和统计力学中，高斯积分用于求解路径积分和计算系统的配分函数。
3. 信号处理：在滤波器设计和分析中，高斯函数常用作窗口函数，高斯积分用于计算频域和时域之间的转换。