第二类换元法

第二类换元法的主要思路是将 $dx$ 换元后里面的内容提取到外面, 得到容易求得的积分后再将变量换回$x$.

设 $f(x)$ 为可积函数，$x=x(g)$ 为连续可导函数，则有：

Info

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))d(\varphi (t))={\int }_{{\varphi }^{-1}(\alpha )}^{{\varphi }^{-1}(\beta )}f(\varphi (t))\varphi \prime (t)dt$$

注意点

1. 三角函数 > 三角函数转化运算
2. 反三角函数运算
3. 计算定积分时函数是否连续

经典类型

在遇到类似 $\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$ 和 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的式子时，通常采取分别令 $x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$ 或 $x=\pm a\sin t$ 进行换元，得到关于 $t$ 的一个原函数。

1. $\sqrt{a^2-x^2}$

例1: $\int \sqrt{a^2-x^2}dx,(a>0)$

$x\in [-a,a]$
令 $x=\pm a\sin (t)$, 则 $dx=a\cos (t)dt$

$$=\int \sqrt{a^2-a^2{\sin }^2(t)}d(a\sin (t))$$ $$=\int a\cos (t)\cdot a\cos (t)dt=a^2\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin (2t)}{4}\right)$$

令$x=\pm a\cos (t)$, 也能解出

2. $\sqrt{x^2+a^2}$

例2: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx,(a>0)$

令 $x=\pm a\tan (t)$, $x\in [-\infty ,\infty ]$, $t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

3. $\sqrt{x^2-a^2}$类

例3: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx,(a>0)$

令 $x=\pm a\sec (t)$, $x\in [a,\infty ]$, $t\in (0,\frac{\pi }{2})$