三角函数

在数学中，三角函数是将直角三角形的角度与两条边长之比联系起来的实函数。它们广泛应用于与几何相关的所有科学，例如航海、固体力学、天体力学、大地测量学等。它们是最简单的周期函数之一，因此也广泛用于通过傅里叶分析研究周期现象。

Function	Description	Equal
sine	$\sin \theta =\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$
cosine	$\cos \theta =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$
tangent	$\tan \theta =\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$	$\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$
cosecant	$\csc \theta =\frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}$	$\frac{1}{\sin (\theta )}$
secant	$\sec \theta =\frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}$	$\frac{1}{cos(\theta )}$
cotangent	$\cot \theta =\frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}$	$\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$

三角恒等式

1. ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$
2. $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$
3. $1+{\cot }^2(x)={\csc }^2(x)$

---

三角函数转化运算

和角公式

$\sin (x\pm y)=\sin (x)\cdot \cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$
$\cos (x\pm y)=cos(x)\cdot \cos (y)\mp \sin (x)\cdot \sin (y)$

Link to original

倍角公式

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$
$\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

Link to original

半角公式

${\sin }^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos (x)}{2}$
${\cos }^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos (x)}{2}$

Link to original

和差化积

$\sin (\alpha )+\sin (\beta )=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
$\sin (\alpha )-\sin (\beta )=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Link to original

积化和差

$\sin (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right]=-\frac{1}{2}\left[\cos (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\right]$
$\cos (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\right]=\frac{1}{2}\left[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right]$

Link to original