独立性

定义

离散随机变量的独立性

离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 被认为是独立的，如果对于所有可能的值 $x$ 和 $y$，它们的联合概率分布满足以下条件：
$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\times P(Y=y)$

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连续随机变量的独立性

对于连续型随机变量，定义类似，但使用概率密度函数而不是概率。如果两个连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数 $f_{X,Y}(x,y)$ 可以表示为各自边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的乘积，则这两个变量是独立的：
$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\times f_Y(y)$

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在这两种情况下，独立性的本质是相同的：一个变量的取值不影响另一个变量的概率分布。这是概率论和统计推断中的一个基本概念。

性质

若$X$,$Y$ 独立, 则$E[X,Y]=0$, $E[X]=E[Y]=0$

Tip

考试出题一定不独立