代数余子式

对于矩阵 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$，代数余子式 $C_{ij}$ = 位置系数 $(-1{)}^{i+j}$ $\times$ 余子式$M_{ij}$ 。

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (M_{ij})$$

Example

考虑三阶方阵

$$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$$

今将计算余因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩阵（在 $B$ 中去掉第 2 行与第 3 列）之行列式：

$$M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ b_{31}& b_{32}& ◻\end{array}\right|=b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12}$$

所以，余因子 $C_{23}$ 为：

$$C_{23}=(-1{)}^{2+3}\cdot M_{23}=-(b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12})=b_{31}{b}_{12}-b_{11}{b}_{32}$$