拉普拉斯展开法可以将行列式的计算化为低阶行列式的运算。

设 $A$ 是一个 $n$ 阶行列式:

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}

按第 $k$ 行(列)展开时,其公式为:

A = j = 1 \sum n (- 1)^{k + j} a_{k j} M_{k j}

即k行中所有元素 $a_{k j}$ 与其对应的代数余子式的乘积之和
$M_{k j}$ 代表将 $A$ 的第 $k$ 行,第 $j$ 列元素 $a_{k j}$ 所在的行和列删去后,留下的 $(n - 1)$ 阶余子式。
$(- 1)^{k + j}$ 代表行列式的位置系数

步骤

Example

对于一个4阶行列式:
$1561 3 - 2 82 40579136$
按第2行展开,则结果为:
$1561 3 - 2 82 40579136 = - 5161457936 + (- 2) 161357936 - 0161382457 + 1 156 3 - 2 8 405$

拉普拉斯展开法的关键在于将高阶行列式化为低阶行列式的运算,可以很大程度减少计算量。

这种方法在手算时很有用,但在数值计算时更多采用高斯消元法。不过拉普拉斯展开还是揭示了行列式与子式的递推关系,体现了行列式理论的内在结构。

tags	数学
aliases	Laplace expansion, 展开法则, 按行展开

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