范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

$$V(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^{n-1}\\ 1& x_3& x_3^2& \cdots & x_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$$

该行列式的值可以表示为各变量之差的积：

$$V(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

证明

使用行列式的性质和归纳法，可以证明这个公式。主要步骤如下：

1. 基础步骤：
   对于 $n=2$，范德蒙德行列式为：

   $$\left|\begin{array}{cc}1& x_1\\ 1& x_2\end{array}\right|=x_2-x_1$$

   这显然满足公式。

2. 归纳步骤：
   假设对于 $n-1$ 阶的范德蒙德行列式公式成立，考虑 $n$ 阶的情况：

   将 $n$ 阶的范德蒙德行列式按第一列展开，得到：

   $$V(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cccc}{x}_1^{k-1}& x_1^k& \cdots & x_1^{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{k-1}^{k-1}& x_{k-1}^k& \cdots & x_{k-1}^{n-2}\\ x_{k+1}^{k-1}& x_{k+1}^k& \cdots & x_{k+1}^{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n^{k-1}& x_n^k& \cdots & x_n^{n-2}\end{array}\right|$$

   注意到每个子行列式本质上是 $(n-1)$ 阶的范德蒙德行列式，且第 $k$ 行的 $k-1$ 次幂项是所有元素的一个共同因子，可以将其提出来：

   $$=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\prod _{j\ne k}{x}_j\cdot V(x_1,x_2,\dots ,x_{k-1},x_{k+1},\dots ,x_n)$$

   通过归纳假设，可得：

   $$=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\prod _{j\ne k}{x}_j\cdot \prod _{1\le i<j\le n,i,j\ne k}(x_j-x_i)$$

   最后，通过对称性的分析，得到结果：

   $$V(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

应用

1. 特征根：若矩阵 $A$ 的特征根为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则范德蒙德行列式可以用来计算特征值的行列式。
2. 多项式插值：拉格朗日插值多项式的系数计算可以利用范德蒙德行列式。
3. 线性代数：用于证明矩阵的线性无关性，特别是在多项式基底的情况下。
4. 组合数学：在组合数学中的计数问题中，范德蒙德行列式的公式经常用来计算排列和组合问题中的某些特定结果。

推广

转置

范德蒙德行列式的转置矩阵保持相同的行列式值。这是因为行列式的一个基本性质是：

$$\det (A^T)=\det (A)$$

对于范德蒙德矩阵 $V$，其转置矩阵为：

$$V^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right]$$

由于行列式对转置矩阵不变，因此：

$$\det (V^T)=\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

从k次开始的推广（这里计算不对，重算）

如果我们考虑一个从 $x^2$ 开始的范德蒙德行列式，即$k=2$：

$$W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{cccc}{x}_1^2& x_1^3& \cdots & x_1^n\\ x_2^2& x_2^3& \cdots & x_2^n\\ x_3^2& x_3^3& \cdots & x_3^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n^2& x_n^3& \cdots & x_n^n\end{array}\right|$$

与标准范德蒙德行列式相比，会增加每个项的幂次，因此：

$$W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left(\prod _{i=k}^{n+1}{x}_i\right)\cdot \prod _{2\le i<j\le n+1}(x_j-x_i)$$

因为每一列都比标准的范德蒙德矩阵多乘了一个对应的 $x_i^k$。

其他推广方式

范德蒙德行列式有许多其他推广方式，包括但不限于以下几种：

1. 非整数幂次的推广：
   考虑行列式的元素是非整数幂次，例如 $x_1^{a_1},x_2^{a_2},\dots ,x_n^{a_n}$，其中 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是任意实数。这种情况下，行列式仍然可以通过类似的方法进行计算，尽管具体形式会变得复杂。

2. 混合幂次的推广：
   行列式的每一列可以是不同幂次的混合，例如：

   $$\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1^2& x_1^4& \cdots & x_1^{2n-2}\\ 1& x_2^2& x_2^4& \cdots & x_2^{2n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n^2& x_n^4& \cdots & x_n^{2n-2}\end{array}\right|$$

   这种行列式的值可以通过将其转换为标准范德蒙德行列式来求解。

3. 参数化推广：
   引入参数化变量，例如在每一项中引入系数 $a_i$，形成如下矩阵：

   $$\left|\begin{array}{ccccc}1& a_1{x}_1& a_1{x}_1^2& \cdots & a_1{x}_1^{n-1}\\ 1& a_2{x}_2& a_2{x}_2^2& \cdots & a_2{x}_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_n{x}_n& a_n{x}_n^2& \cdots & a_n{x}_n^{n-1}\end{array}\right|$$

   这类行列式的计算可以利用多项式的线性组合和行列式的性质来进行。