梯度

简介

梯度是一个标量函数$f$ 的偏导数组成的向量场, 梯度给出了空间各点函数增长最快的方向. 梯度是一种关于多元导数的概括, 可以看作一元函数导数的推广.

定义

标量函数 $f:{\mathbb{R}}^n\mapsto \mathbb{R}$ 的梯度表示为: $\nabla f$ 或 $\mathrm{grad}f$, 其中 $\nabla$ (nabla) 表示向量微分算子.

在三维情况下, 函数 $f(x,y,z)$ 的梯度 $\nabla f$ 由其偏导数构成:

$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$

其中 $i,j,k$ 为标准的单位向量, 分别指向 $x,y,z$ 坐标的方向

推广

• 一元函数的导数是标量值函数
• 多元函数的梯度是向量值函数
• 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵, 梯度是雅可比矩阵的一个特例
• 在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是弗雷歇导数.

应用

切平面的法线

简介

三维空间中的隐函数 $F(x,y,z)=0$ 定义了一个二维曲面。在曲面 $F$ 上某点 $P$ 的切平面是曲面在点 $P$ 附近的最佳线性逼近。该切平面的法向量 $\vec{n}$ 平行于梯度 $\nabla F$，梯度指向函数值变化最快的方向，并且正交于切平面。

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