一阶线性微分方程

定义

一阶线性微分方程可定义为以下标准形式：
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$
其中，$y$ 是要求解的函数，$x$ 是独立变量，$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的已知函数。

性质

• 一阶：方程中最多只涉及到函数 $y$ 的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$
• 线性：函数 $y$ 和它的导数 $\frac{dy}{dx}$ 均以线性的方式出现。

通解

一阶线性微分方程通解

$$y=C{e}^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$$Link to original

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推导

一阶线性微分方程的解法通常涉及到寻找一个积分因子，这可以将微分方程转换为一个容易积分的形式。

若$Q(x)=0$, 则得到对应于非齐次线性方程的齐次线性方程
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$
这个齐次线性方程是可分离变量的
$\frac{dy}{y}=-P(x)dx$
$ln|y|=-\int P(X)dx$
$y=C{e}^{-\int P(X)dx}$
为了求得特解，我们将$C$视为一个待求的变量函数$u(x)$，而不是一个常数。将 $y{}_h=u(x)e^{\int -P(x)dx}$ 代入原非齐次方程:

$$u^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)u(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$

$u^{\prime }(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$
解得
$u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$
将上式带回齐次线性方程的通解

$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$

整理后得一阶线性微分方程通解

$$y=C{e}^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$$

上式第一项为对应齐次线性方程的通解, 第二项为非齐次线性方程本身的一个特解的通解

伯努利方程

简介

伯努利方程是一阶非线性微分方程, 其标准形式为:
$y^{\prime }+P(x)=Q(x)y^n$
可以通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程来求解.

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