第二个重要极限

定义

${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

证明使用牛顿二项式定理, 比较$x_n$与$x_{n+1}$, 再使用单调有界准则

推论1

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

证明1

1. 根据夹逼定理可证

证明2

当考虑 $x\to -\infty$ 时，我们通过令 $y=-x$ 来转换问题。因为当 $x$ 趋于负无穷大时，$y$ 趋于正无穷大。所以原极限变为：

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{y}\right)}^{-y}$$

为了利用基本极限，我们将表达式稍作变换：

$${\left(1-\frac{1}{y}\right)}^{-y}={\left(\frac{y-1}{y}\right)}^{-y}={\left(\frac{y}{y-1}\right)}^y={\left(1+\frac{1}{y-1}\right)}^y$$

当 $y\to \infty$，$y-1$ 也趋于无穷大。因此我们可以应用基本极限：

$$\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{y-1}\right)}^y=e$$

这样，我们证明了即使在 $x\to -\infty$ 的情况下，极限 ${\lim }_{x\to -\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 也等于 $e$。

推论2

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x=\frac{1}{e}$$

证明

根据推论1 换元$t=-x$ 可证
${\lim }_{x\to \infty }(1-\frac{1}{x}{)}^x={\lim }_{t\to -\infty }(1+\frac{1}{t}{)}^{-t}={\lim }_{t\to -\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{t}{)}^t}=\frac{1}{e}$

Tip

内外同号则为$e$，异号为$\frac{1}{e}$, $x$趋近于$\pm \infty$没影响