沃利斯积分

简介

沃利斯公式（Wallis Formula），在中文教材中常因其递推计算的形式被称为点火公式。该名称通常指代两个密切相关的数学成果：

1. 沃利斯积分：一个计算正弦函数（或余弦函数）高次幂在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 区间上定积分的递推公式。
2. 沃利斯积：一个通过无穷乘积来表示圆周率 $\pi$ 的著名公式。

沃利斯乘积可以由沃利斯积分推导得出，它们都是微积分中的经典结论，尤其在理论分析和近似计算中有重要应用。

定义

沃利斯积分 (Wallis Integrals)

对于正整数 $n$，定积分 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$ 的值可用以下公式计算：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& \text{, 若 }n\text{ 为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& \text{, 若 }n\text{ 为奇数}\end{array}$$

使用双阶乘 (!!) 表示则更为简洁：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi }{2}& \text{, 若 }n\text{ 为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& \text{, 若 }n\text{ 为奇数}\end{array}$$

推导

设 $I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$。我们可以使用分部积分法来建立 $I_n$ 的递推关系。
令 $u={\sin }^{n-1}x$，$dv=\sin xdx$。
则 $du=(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx$，$v=-\cos x$。

根据分部积分公式：

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx\\ & ={\left[-{\sin }^{n-1}x\cos x\right]}_0^{\pi /2}-{\int }_0^{\pi /2}(-\cos x)\cdot (n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ & =0+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx\\ & =(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx\\ & =(n-1)\left({\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}xdx-{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx\right)\\ & =(n-1)(I_{n-2}-I_n)\end{array}$$

整理上式 $I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$，可得：
$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}⟹I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$
通过计算初始值 $I_0=\frac{\pi }{2}$ 和 $I_1=1$，反复应用此递推式，即可得到沃利斯积分的最终形式。