空间平面

一般形式

$F(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0$

• 平面上任一点都满足上述方程
• 平面外任一点都不满足上述方程
• $\vec{n}=(A,B,C)$是平面的一个法向量

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点法式

如果已知法向量$\vec{n}=(A,B,C)$，则可用法向量完全描述平面$F$
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

• 设平面内任意直线$MN$，则$\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=0$
• 点$M(x_0,y_0,z_0)$在平面$\Pi$内

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截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
a b c分别为平面在坐标轴上的截距

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两平面的夹角

平面${\Pi }_1$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$
平面${\Pi }_2$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$
两平面夹角$\theta$可由下列公式确定
$\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$
通过夹角的定义, 有以下推论:

• 两平面垂直，则$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$
• 两平面平行，则$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$