二次型

背景

在解析几何中,为了便于研究二次曲线

$$a{x}^2+bxy+c{y}^2=1$$

的几何性质,可以选择适合的旋转变换

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}$$

把方程化为标准型(标准二次型)

$$m{x}^{\prime 2}+n{y}^{\prime 2}=1$$

这一过程本质是通过基变换将二次型的对称矩阵对角化，标准型系数对应矩阵的特征值。将这类问题一般化, 即为二次型.

定义

定义

二次型是二次齐次函数，形如：

$Q(\vec{x})={\vec{x}}^{T}A\vec{x}={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$

其中：

• $\vec{x}$ 是$n$维列向量
• $A$ 是唯一确定的$n\times n$对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$）
• 交叉项$x_i{x}_j$的系数对应$2a_{ij}$（当$i\ne j$时）

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计算

构造二次型矩阵的通用方法：

1. 平方项系数直接作为对角元素
2. 交叉项系数平分到对称位置
   例如：

a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$ $$3x_1^2 + 4x_1x_2 - x_2^2 \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$ --- ## 示例 完整示例：

Q(x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 1 \
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2
\end{bmatrix}

$$通过正交变换可对角化为：$$

Q(y) = 2y_1^2 + (3+\sqrt{2})y_2

--- ## 补充 1. **合同对角化**：存在可逆矩阵$P$使$P^TAP$为对角阵 2. **惯性定理**：标准型中正/负系数的个数（正负惯性指数）在实数域下保持不变 3. **几何意义**：二次型对应二次曲面的主轴方向由特征向量确定 --- ## 应用 1. **优化理论**：在二次规划问题中，目标函数通常是一个二次型。 2. **统计学**：在多元统计分析中，二次型用于构建某些统计量，如马氏距离。 3. **机械工程**：在结构分析和动力学中，二次型用于描述能量和稳定性。