对称矩阵

定义

对称矩阵 $A$ 满足 $A=A^T$, 即矩阵关于主对角线对称.

对称矩阵的重要性质是它可以被正交对角化, 这意味着存在一个正交矩阵 $Q$, 使得 $A=Q\Lambda Q^T$, 其中 $\Lambda$ 是对角矩阵.

定义

如果一个矩阵 $A$ 是对称矩阵，那么存在一个正交矩阵 $Q$ 使得：

$$Q^{T}AQ=D$$

其中 $D$ 是一个对角矩阵，$Q^T$ 是 $Q$ 的转置矩阵。

直交对角化用于将一个对称矩阵$A$, 通过正交矩阵 $Q$ 对角化为对角矩阵。

Link to original

性质

1. 所有特征值都是实数.
2. 不同特征值对应的特征向量是正交的.
3. 可以通过正交矩阵对角化.

对称矩阵与直交对角化

对称矩阵总是可以通过正交矩阵进行对角化. 这是实对称矩阵的一个重要性质, 即对称矩阵$A$可以表示为$A=PD{P}^T$, 其中, $D$是对角矩阵. 相似变换矩阵$P$是正交矩阵($P^T=P^{-1}$), 通常这样的正交变换的矩阵不用$P$表示, 而是习惯用$Q$表示. 这个性质在很多应用中非常有用, 包括简化二次型的表示.

对称矩阵与标准型

通过直交对角化, 一个对称矩阵可以转换成标准型. 对于二次型$Q(x)=x^{T}Ax$, 如果$A$是对称矩阵, 通过正交对角化, 二次型可以转换为:
$Q(x)=y^{T}Dy={\sum }_i{\lambda }_i{y}_i^2$
其中, ${\lambda }_i$是$A$的特征值, $y_i$是经过正交变换后的变量.