正交对角化

定义

如果一个矩阵 $A$ 是对称矩阵，那么存在一个正交矩阵 $Q$ 使得：

$$Q^{T}AQ=D$$

其中 $D$ 是一个对角矩阵，$Q^T$ 是 $Q$ 的转置矩阵。

直交对角化用于将一个对称矩阵$A$, 通过正交矩阵 $Q$ 对角化为对角矩阵。

与一般的对角化比较

定义

矩阵$A$ 通过相似变换矩阵$P$转化为对角矩阵$D$ 的过程
$P^{-1}AP=D$

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特殊之处在于相似变换矩阵$P$不仅要求是可逆的, 而且还应该是正交矩阵($P^T=P^{-1}$), 通常这样的正交变换的矩阵不再用$P$表示, 而是习惯用$Q$表示.

步骤

正交矩阵的正交对角化是通过坐标的正交变化进行的对角化。

• 1: 找到对称矩阵并找到它的特征多项式$det(A-\lambda I)$
• 2: 找到特征值$\lambda$
• 3: 对于每个特征值, 找到其正交基特征空间$x$
• 4: 规范化每一个特征向量$x$, 形成正交基
• 5: 构造正交矩阵 $Q$

示例

假设有一个对称矩阵 $A$：

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$$

步骤1：计算特征值和特征向量
求解特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\mathbf{v}$ 使得 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$。
特征值 $\lambda$ 的求解：解特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$，得：

$$\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right|=0$$

解出特征值 ${\lambda }_1=5$ 和 ${\lambda }_2=2$。
对应特征值的特征向量分别为：
对于 ${\lambda }_1=5$：

$$(A-5I)\mathbf{v}=0\Rightarrow {\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

对于 ${\lambda }_2=2$：

$$(A-2I)\mathbf{v}=0\Rightarrow {\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$

步骤2：构造正交矩阵 $Q$
将特征向量规范化，并构造正交矩阵 $Q$：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

步骤3：验证直交对角化
计算 $Q^{T}AQ$：

$$Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

结果是一个对角矩阵 $D$。
通过以上步骤，完成了对称矩阵 $A$ 的直交对角化，得到 $Q^{T}AQ=D$。

二次型的标准化

将一个二次型化为标准型的过程实际上是利用直交对角化将二次型的矩阵表示化为对角矩阵形式，从而简化其表示。具体步骤如下：

1. 表示二次型为矩阵形式：将给定的二次型用对称矩阵表示。
2. 求特征值和特征向量：对这个对称矩阵进行特征值分解。
3. 构造正交矩阵：用特征向量构造正交矩阵。
4. 变换二次型：利用正交矩阵将二次型变换为标准型。

详细步骤：

假设我们有一个二次型：

$$Q(x)=a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+a_{22}{x}_2^2$$

这个二次型可以用一个对称矩阵 $A$ 表示：

$$Q(x)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

步骤1：表示二次型为矩阵形式

设 $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)$，二次型 $Q(x)$ 对应的矩阵表示为 $x^{T}Ax$。

步骤2：求特征值和特征向量

求解特征值和特征向量：
特征方程为 $\det (A-\lambda I)=0$。解出特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，并求出对应的特征向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$。

步骤3：构造正交矩阵

将特征向量单位化并构造正交矩阵 $Q$：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\end{array}\right)$$

步骤4：变换二次型

利用正交矩阵 $Q$ 将二次型变换为标准型。设 $\mathbf{y}=Q^T\mathbf{x}$，则新的二次型表示为：

$$Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(Q\mathbf{y}{)}^{T}A(Q\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T(Q^{T}AQ)\mathbf{y}$$

因为 $Q^{T}AQ=D$，其中 $D$ 是对角矩阵，我们有：

$$Q(\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{T}D\mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$$

这样，原二次型 $Q(\mathbf{x})$ 就化为了标准型 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$。

例子

假设我们有一个二次型：

$$Q(x)=4x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2$$

对应的矩阵为：

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$$

求特征值和特征向量：

$$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 2\\ 2& 1-\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-5\lambda =0$$

解得 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=5$。
对应特征向量：
对于 ${\lambda }_1=0$：

$$(A-0I){\mathbf{v}}_1=0\Rightarrow {\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$$

对于 ${\lambda }_2=5$：

$$(A-5I){\mathbf{v}}_2=0\Rightarrow {\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$

构造正交矩阵：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)$$

变换后的二次型：

$$Q(x)={\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

所以，标准型为：

$$Q(\mathbf{y})=5y_1^2$$