转置

矩阵$A$的转置是另一个矩阵$A^T$, 由下列等价动作建立：

• 把$A$的行写为$A^T$的列
• 把$A$的列写为$A^T$的行
  形式上说，$m\times n$矩阵$A$的转置是$n\times m$矩阵

性质

逆运算

转置是自身的逆运算。
$(A^T{)}^T=A$

与矩阵加法的关系

转置是从 $m\times n$ 矩阵的线性空间到所有 $n\times m$ 矩阵的线性空间的线性映射, 因此满足分配律。
$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

与矩阵乘法的关系

注意因子反转的次序
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
相对容易地把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出
$(ABC\dots XYZ{)}^T=Z^T{Y}^T{X}^T\dots C^T{B}^T{A}^T$

与求逆运算的关系

当且仅当 $A^T$ 是可逆矩阵，在这种情况下有 :
$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

与标量乘法的关系

标量的转置是同样的标量。
$(cA{)}^T=c{A}^T$

与行列式运算的关系

• 矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
  $\det (A^T)=\det (A)$

表示列向量的内积

两个列向量 $a$ 和 $b$ 的内积可计算为：
$a\cdot b=a^{T}b$

其他性质

• 如果 $A$ 只有实数元素，则 $A^{T}A$ 是半正定矩阵。
• 如果 $A$ 是在某个域上，则 $A$ 相似于 $A^T$