--复分析--

简介

复分析 - 维基百科，自由的百科全书

复分析（英语：Complex analysis）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。
 
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。

学习路线

课程逻辑递进关系：

• 从基础到核心: 先建立复数和复变函数的基本概念。
• 引入核心概念: 介绍“解析性”，这是复分析的灵魂。
• 建立核心工具: 引入“复积分”，并由此引出两大核心定理——柯西积分定理与公式。
• 理论的深化: 利用核心定理推导出函数的级数表示（泰勒级数与洛朗级数）。
• 理论的应用: 利用洛朗级数分析函数的“奇点”，并最终引出强大的计算工具——“留数定理”。

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目录

1. ---复数与复平面---
   1. 复数表示为极坐标形式
   2. 复平面的坐标变换
   3. 复数域的完备性
   4. 复对数函数
2. ---解析函数---
   1. 解析函数
   2. 全纯函数
   3. 柯西-黎曼方程
   4. 解析延拓
3. ---柯西理论---
   1. 柯西积分定理
   2. 柯西积分公式
4. ---展开理论---
   1. 复泰勒级数
   2. 罗兰展开
5. ---奇点与留数---
   1. 奇点
   2. 极点
   3. 极点计算示例
   4. 留数
   5. 留数定理
6. ---复分析应用---
   1. 傅里叶变换
   2. 反圆锥曲线函数与对数函数的统一
   3. 实积分的留数计算法

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