Jordan标准型

Jordan标准型通过相似变换将矩阵化简为一种特殊的准对角形式，每个对角块称为一个Jordan块。
Jordan块是围绕一个特征值的准对角矩阵，对角线上是相同的特征值，而对角线上方可能有若干个1，其他位置为0。

$$\left[\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& \lambda & \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \lambda & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& \lambda \end{array}\right]$$

主对角线上的元素都是$\lambda$，紧邻主对角线上方的元素都是1，其余位置都是0，叫做属于$\lambda$的一个 Jordan 矩阵，或称 Jordan 块。

Jordan 标准型的求解过程

1. 求解特征值：
   通过解特征多项式 $\det (A-\lambda I)=0$ 来计算矩阵 $A$ 的特征值。
2. 计算代数重数和几何重数：
   

   代数重数

   特征值作为根在矩阵特征多项式的出现次数

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   几何重数

   与选定特征值相关的特征向量的零化度, 或最大线性无关集合的数量, 是该特征值所构成的特征空间 (零空间) 的维度.

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3. 构造Jordan块：
   对于每个特征值 $\lambda$，其Jordan块的大小和数量取决于特征值的代数重数与几何重数。如果几何重数小于代数重数，将存在大小大于1的Jordan块。
4. 求解广义特征向量：
   当几何重数小于代数重数时，需要计算广义特征向量。这涉及到解 $(A-\lambda I{)}^{k}v=0$，其中 $k$ 大于1直到找到足够的广义特征向量。
5. 构造相似变换矩阵 $P$：
   相似变换矩阵 $P$ 的列是由 $A$ 的特征向量和广义特征向量组成的。这些列向量的排列顺序与Jordan块在Jordan标准型中的位置相对应。

示例

假设有矩阵 $A$ 如下：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 0& 4& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$$

特征值 $\lambda =4$，重复三次。计算得到几何重数为1，因此需要一个 $3\times 3$ 的Jordan块。
特征向量求解自 $(A-4I)v=0$，可得基础特征向量 $v_1=[1,0,0{]}^T$。
广义特征向量求解自 $(A-4I{)}^{2}v=0$ 和 $(A-4I{)}^{3}v=0$，得 $v_2=[0,1,0{]}^T$ 和 $v_3=[0,0,1{]}^T$。
则有 $P=[v_1,v_2,v_3]$ 和 Jordan 标准型 $J$ 为：

$$J=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 0& 4& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$$

这样，矩阵 $P$ 就能将矩阵 $A$ 通过相似变换转换为其Jordan标准型 $J$。