双阶乘

定义

• 对于奇数的双阶乘 $(2n-1)!!$：
  $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)={\prod }_{i=1}^n(2i-1)$
• 对于偶数的双阶乘 $(2n)!!$：
  $(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2n={\prod }_{i=1}^n(2i)$

转换规则

双阶乘与阶乘之间的转换规则：

• 奇数双阶乘 $(2n-1)!!$ 转换为阶乘的公式：
  $(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$
• 偶数双阶乘 $(2n)!!$ 转换为阶乘的公式：
  $(2n)!!=2^n\cdot n!$

推导

奇数双阶乘

对于奇数双阶乘 $(2n-1)!!$，我们利用阶乘来进行转换。首先，我们知道奇数双阶乘 $(2n-1)!!$ 是从 1 到 $2n-1$ 的所有奇数的乘积。
可以表示为：
$(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)$
将其与阶乘 $(2n)!$ 进行比较，阶乘 $(2n)!$ 包含从 1 到 $2n$ 的所有整数的乘积：
$(2n)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot (2n-1)\cdot 2n$
我们将这些数拆分为奇数和偶数：
$(2n)!=(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))\cdot (2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2n)$
奇数部分是 $(2n-1)!!$，偶数部分是 $2^n\cdot n!$。因此：
$(2n)!=(2n-1)!!\cdot 2^n\cdot n!$
解出 $(2n-1)!!$：
$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$

偶数双阶乘

对于偶数双阶乘 $(2n)!!$，可以类似地推导：
$(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2n$
注意到这个乘积可以表示为：
$(2n)!!=2^n\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n)=2^n\cdot n!$

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应用

双阶乘在高等数学中频繁出现，尤其是在：

• 广义二项式定理：当指数 $\alpha =\pm 1/2$ 时，展开式的系数中会出现双阶乘。
• 泰勒展开中的双阶乘：例如 $\arcsin (x)$ 的泰勒展开。
• 沃利斯积分 (Wallis Integral)：计算 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^n(x)dx$ 时。
• 伽马函数 (Gamma Function)：在处理半整数时，如 $\Gamma (n+\frac{1}{2})$。
• 概率论：正态分布的高阶矩 $E[X^{2n}]$。