外积

n维线性空间中($n\ge 2$), 向量与向量的二元运算, 映射结果到线性空间，得到一个 $n(n-1)/2$ 维度的新向量($n=2$时得到的实际上是一个标量)
外积和内积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与内积之不同的是，外积还依赖于定向或右手定则

对于三维空间的外积运算：
$\vec{c}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$
$\vec{c}$ 的模长 $\mid \vec{c}\mid =\mid \overrightarrow{n_1}\mid \mid \overrightarrow{n_2}\mid \sin \theta$, 即$n_1$，$n_2$组成的平行四边形面积

右手螺旋定则

右手四指握紧，拇指伸直，形成由旋向和轴向两个特征完全确定的圆柱形

1. 旋向：圆柱正方向为，四指旋向为起点在圆柱轴线上的向量$n_1\to n_2$
2. 轴向：拇指伸直的方向为轴线正方向

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$\vec{c}$ 的方向根据右手定则确定:
四指旋向为$n_1\to n_2$时, 拇指的方向

外积的行列式表示

使用行列式计算三维向量外积：

$$\vec{c}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ {}_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$

推论

• 交换律: $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$
• 与向量加法的分配律：$\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$
• 与实数乘法的结合律：$k(\vec{a}\times \vec{b})=(k\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (k\vec{b})$

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反对称矩阵表示外积

给定两个向量 $a=(a_1,a_2,a_3{)}^T$ 和 $b=(b_1,b_2,b_3{)}^T$，它们的外积 $a\times b$ 是一个向量，其每个分量定义如下：

$$a\times b=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$$

这个过程也可以看成变换a作用在向量b上，这个作用是线性的(待证明)，因此我们可以构造一个矩阵，使得该矩阵与另一个向量相乘等效于外积。

设 $\mathbf{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3{)}^T$，我们希望找到一个矩阵 $\Omega$，使得对于任何向量 $r=(x,y,z{)}^T$，有：

$$\mathbf{\omega }\times r=\Omega r$$

根据向量外积的定义：

$$\mathbf{\omega }\times r=\left(\begin{array}{c}{\omega }_{2}z-{\omega }_{3}y\\ {\omega }_{3}x-{\omega }_{1}z\\ {\omega }_{1}y-{\omega }_{2}x\end{array}\right)$$

按行分量将结果写成矩阵形式：

$$\mathbf{\omega }\times r=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

从而得到矩阵 $\Omega$：

$$\Omega =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$$

这是一个反对称矩阵