定义

矩阵 $A$ 通过相似变换矩阵 $P$ 转化为对角矩阵 $D$ 的过程
$P^{- 1} A P = D$

条件

充分的线性无关特征向量:
- 对于一个 $n \times n$ 矩阵, 需要有 $n$ 个线性无关的特征向量.
代数重数=几何重数：

代数重数
特征值作为根在矩阵特征多项式的出现次数
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几何重数
与选定特征值相关的特征向量的零化度, 或最大线性无关集合的数量, 是该特征值所构成的特征空间 (零空间) 的维度.
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- 对于每一个特征值, 其代数重数必须等于其几何重数 . 这个条件等价于对每个特征值, 特征向量的个数( 包括重复计算的) 至少要达到该特征值在特征多项式中出现的次数.

设A为 $n \times n$ 矩阵

如果一个矩阵 $A$ 可以被对角化，即存在一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$ ，使得

A = P D P^{- 1}

那么 $A$ 的幂次计算可以大大简化。

对于任意正整数 $n$ ，有

A^{n} = (P D P^{- 1})^{n} = P D^{n} P^{- 1}

其中 $D^{n}$ 是对角矩阵 $D$ 的 $n$ 次幂。如果 $D$ 是一个对角矩阵，其形式为

D = λ_{1} 0 ⋮ 0 0 λ_{2} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ λ_{n}

则 $D^{n}$ 也是一个对角矩阵，其对角元素是 $λ_{i}^{n}$ ，即

D^{n} = λ_{1}^{n} 0 ⋮ 0 0 λ_{2}^{n} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ λ_{n}^{n}

因此，

A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = P λ_{1}^{n} 0 ⋮ 0 0 λ_{2}^{n} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ λ_{n}^{n} P^{- 1}