示例
可对角化
设矩阵为:
4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$ 1. **计算特征值**: $$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda)^2$$ 特征值为$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 3$( 重根) . 2. **计算特征向量**: - 对于$\lambda_1 = 4$: $$(A - 4I)v = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}v = 0 \implies v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ - 对于$\lambda_2 = 3$: $$(A - 3I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}v = 0 \implies v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 3. **判断能否对角化**: - 对于$\lambda_1 = 4$, 代数重数和几何重数均为1. - 对于$\lambda_2 = 3$, 代数重数和几何重数均为2. 因此, 矩阵$A$可以对角化. 4. **构造相似变换矩阵$P$**: $$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 5. **相似变换得到对角矩阵$D$**: $$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$ ### 不能对角化的例子 设矩阵$B$为: $$B = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$ 1. **计算特征值**: $$\det(B - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 5-\lambda & 4 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 8\lambda + 7 = 0$$ 特征值为$\lambda_1 = 4$ (重根) . 2. **计算特征向量**: - 对于$\lambda_1 = 4$: $$(B - 4I)v = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}v = 0 \implies v = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 只有一个特征向量. 3. **判断能否对角化**: - 对于$\lambda_1 = 4$, 代数重数为2, 几何重数为1. 由于$\lambda_1$的几何重数小于代数重数, 矩阵$B$不能对角化. 4. **构造Jordan块**: $$J = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$ 5. **求解广义特征向量**: - 对于$\lambda_1 = 4$: $$(B - 4I)^2v = 0$$ 6. **构造相似变换矩阵$P$**: $$P = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ **相似变换得到Jordan标准型$J$**: $$P^{-1}BP = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$