逆矩阵

对于$n$阶矩阵$A$，如果存在$n$阶矩阵$B$，使得:

$$AB=BA=E$$

称$A$可逆，且$B$称为$A$逆矩阵，记作:$A^{-1}=B$。

性质

• 定理 1: 若$A$可逆，则$|A|\ne 0$。
• 定理 2: 若$|A|\ne 0$，则$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$。
• 推论: 若$A$为$n$阶方阵，若$AB=E$(或$BA=E$)，则$A$可逆，且$A^{-1}=B$。
• 如果一个方程组没有唯一解或者没有解时，那么该方程组的系数矩阵就不是可逆的。

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计算

伴随矩阵法

伴随矩阵法

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，逆矩阵 $A^{-1}$ 可以通过以下公式计算得到：

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}$$

其中，$|A|$ 表示矩阵 $A$ 的行列式，$\tilde{A}$ 表示矩阵 $A$ 的伴随矩阵

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高斯消元法

求解逆矩阵

1. 选取单位矩阵 $E$ 构造增广矩阵。
2. 通过初等行变换将增广矩阵行变换计算逆矩阵。
3. 当 $A$ 部分变成单位矩阵时, 右侧部分即为$A^{-1}$.

$$\left(\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right)\stackrel{\text{mbox}row}{⟶}\left(\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right)$$

示例

Example

对于一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& 1& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& 0& 1& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

通过行变换将左侧的 $A$ 变成单位矩阵, 右侧将变为 $A^{-1}$.

特殊情况处理

特殊情况处理

在高斯消元过程中, 如果当前列的主元(pivot)值为 0, 但其他行已被正确形式化, 而不能继续行加减, 此时需要行交换

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LUD

LU分解是矩阵分解的一种，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被视为高斯消元法的矩阵形式。

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QRD

QRD通过将矩阵 $A$ 分解为一个正交矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R

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