简介
导数是微积分学的核心概念之一，描述了函数在某一点的瞬时变化率。通过导数，可以研究函数的动态变化趋势，如函数的单调性、极值等。
定义
导数的定义包含两个层面：一个是在特定点的数值，另一个是描述整体变化趋势的函数。
“导数”的两种含义
由于习惯用法上的“语义污染”，“导数”一词在日常讨论中常常混用，它既可以指在一点的导数（数值），也可以指导函数（函数）。
概念 准确描述 函数在 点的导数 导函数 通俗说法 导数 导数 在严谨的语境下，需要明确区分两者。
导函数 (The Derivative Function)
如果函数 在其定义域的某个区间 内每一点都可导，那么对于区间 内的每一个 ，都对应一个确定的导数值 。这样，我们便得到了一个新的函数，称之为原函数 的导函数，记作 或 。
导函数是一个函数，它反映了原函数在每一点的变化率。
在一点的导数 (Derivative at a Point)
函数 在其定义域内一点 的导数，指的是函数值在该点附近的变化率。它被定义为以下极限（如果该极限存在）：
这个定义也可以等价地写为：
在一点的导数是一个具体的数值，代表该点切线的斜率。
可导性与单侧导数
可导性 (Differentiability)
如果“在一点的导数”的极限存在且有限，则称函数 在该点可导。
单侧导数 (One-sided Derivatives)
根据极限的定义，我们可以分别定义左极限和右极限，从而得到左导数和右导数：
- 左导数:
- 右导数:
函数 在点 可导的充分必要条件是：其在该点的左、右导数均存在且相等，即 。
关于可导与连续的深入讨论，请见 可导与连续的关系。
性质
几何意义
在二维平面坐标系中，导数的几何意义为函数图像在该点切线的斜率。
- 在一点的导数 是函数曲线 在点 处切线的斜率。
- 导函数 描述了曲线上每一点切线斜率的变化情况。
物理意义
导数是描述瞬时变化率的数学工具。例如：
- 瞬时速度是位移对时间的导数。
- 瞬时加速度是速度对时间的导数。
- 瞬时电流是电荷量对时间的导数。
常用记法
表示导数有多种不同的记法，常见的有：
- 拉格朗日记法: ,
- 莱布尼茨记法: , (强调了是哪个变量对哪个变量求导)
- 牛顿记法: (常见于物理学，特指对时间求导)
示例
求函数 的导函数。
根据定义：
所以， 的导函数是 。