行列式

行列式是一个数，它与一个方阵相关联，并用于描述该方阵的一些性质。
给定一个 $n \times n$ 的方阵A，行列式可以表示为det(A)或|A|。
行列式的定义可以通过递归地将方阵拆分为更小的子方阵来得到。

对于2 x 2的方阵：

[a c b d]

行列式

d e t (A) = a c b d = a d - b c

运算规则

整行/列加减,值不变:

x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{11}+x_{12} \\ x_{21} & x_{21}+x_{22} \end{vmatrix}$$ - 整行/列数乘, 值不变(可由前一项规则加减自己推导得到) $$c\cdot \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c\cdot x_{11} & x_{12} \\ c\cdot x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}$$ - 交换行/列, 改变正负 $$\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= -\begin{vmatrix} x_{21} & x_{22} \\ x_{11} & x_{12} \end{vmatrix}

若有两行/列成比例，即对应矩阵不满秩，则行列式＝0

x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & c\cdot x_{11} \\ x_{21} & c\cdot x_{21} \end{vmatrix}= 0

按行列加法拆分

x_{11}+a & x_{12}+b \\ x_{21}+c & x_{22}+d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & x_{12} \\ c & x_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} x_{11} & b \\ x_{21} & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

拉普拉斯展开法降阶( $x_{1 n}$ 不全为0也可以用哦)

x_{11} x_{21} x_{31} x_{12} x_{22} x_{32} x_{13} x_{23} x_{33} = x_{11} x_{22} x_{32} x_{23} x_{33} - x_{12} x_{21} x_{31} x_{23} x_{33} + x_{13} x_{21} x_{31} x_{22} x_{32}

性质

行列式性质
$n \times n$ 方阵的行列式具有以下性质:

$∣ A ∣ = ∣ A^{T} ∣$

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$

$∣ A B ∣ = ∣ B A ∣$

如果A可逆, 则 $∣ A ∣ \cdot ∣ A^{- 1} ∣ = 1$

如果A是上/下三角矩阵, 则 $∣ A ∣$ 等于对角线上所有元素的乘积.
$∣ A ∣ = \prod_{i = 1}^{n} a_{ii}$

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解题技巧

凑出相同行列
提取公因数
高阶优先降阶
降阶善用立方差公式

行列式、全排列、对换和逆序数

关键字抽取：

∣ A ∣ = ∣ a_{ij} ∣ = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = \sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

∣ A ∣ = \sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}} = (3) (- 1)^{k 1} (2) a_{11} a_{22} \dots a_{nn} (1) + \dots + (- 1)^{k 2} a_{12} a_{2 n} \dots a_{n 1}

Question

每一项的元素如何取？

系数是+1，还是-1？

一共有多少项？

$p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 是数字 $1 \dots n$ 的一个全排列。

Quote

全排列，就是不遗漏，不重复的将所有数字排在一起。

从n个不同元素中任取 $m (m \leq n)$ 个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。当 $m = n$ 时所有的排列情况叫全排列。

公式：全排列数 $f (n) = n!$ (定义 $0! = 1$ )

$2 p_{1} 1 p_{2} 4 p_{3} 5 p_{4} 3 p_{5}$
（1）一个全排列，对应了一组 $a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}$

$21453 ⟹ a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}$

（2）系数到底是正数还是负数，取决于幂指数的值，而它可以由全排列决定。全排列就能决定系数是+1，还是-1

$21453 ⟹ (- 1)^{t} a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}$

幂指数的值被称为逆序数。就是用相邻对换的方式，将全排列，变为顺序排列所用的次数。

下面，我们就来计算一下全排列 $21453$ 的逆序，首先将前两个位置上的数2 1进行比较，可以看到，前面的数比后面的数大，因此需要交换顺序，此时交换次数为1，寻找一对逆序数，完成交换，交换数+1，直到变成顺序排列。发送的总交换次数为逆序数。（冒泡排序？）

一个全排列 $21453 ⟹ a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}$ ；除此以外，也对应了一个逆序数。

$123 ⟹ (- 1)^{0} a_{11} a_{22} a_{33}$

从而确定系数是+1还是-1。

\begin{gathered} \begin{matrix}{1}&{2}&{3}& _{t=0}\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^0a_{11}a_{22}a_{33} \\ \begin{matrix}{1}&{3}&{2}& _{t=1}\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^1a_{11}a_{23}a_{32} \\ 2\quad1\quad3\quad _{t=1} \Longrightarrow(-1)^1a_{12}a_{21}a_{33} \\ \begin{matrix}{2}&{3}&{1}& _{t=2}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^2a_{12}a_{23}a_{31} \\ \begin{matrix}{3}&{1}&{2}& _{t=2}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^2a_{13}a_{21}a_{32} \\ \begin{matrix}{3}&{2}&{1}& _{t=3}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^3a_{13}a_{22}a_{31} \end{gathered} \right.

（3）而所有全排列的个数，就是多项式的项数、123三个数的全排列，就有 $3!$ ，6个。

(- 1)^{0} a_{11} a_{22} a_{33} (- 1)^{1} a_{11} a_{23} a_{32} (- 1)^{1} a_{12} a_{21} a_{33} $ - 1)^{2} a_{12} a_{23} a_{31} (- 1)^{2} a_{13} a_{21} a_{32} (- 1)^{3} a_{13} a_{22} a_{31}

将此各项加起来，其结果就是 $∣ A ∣_{3}$ 三阶行列式的值.

tags	数学
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