简介

矩阵的形式是将代数元素按行和列组合在一起

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

矩阵不只是形式上的元素集合,而是线性代数的本质结构：线性算子和线性对象。在这种代数结构下定义的矩阵运算满足线性,因此:

1. 矩阵空间本身就是一个线性空间,在这个线性空间中,矩阵可以线性相加 数乘,并服从线性空间的所有公理
2. 矩阵乘法也可以表示线性映射(线性变换) 矩阵乘法对应于两个线性空间之间的线性映射. 反过来说, 只要知道一个变换是线性的, 那么这个变换一定可以表示为一个矩阵.

矩阵在矩阵乘法中作为前项时称为变换，个人认为这是庸俗的理解，在线性代数中，我们使用矩阵同时表示变换和操作对象，实际上是对两者本质结构的统一，一个矩阵既可以作为操作对象出现，也可以作为算子出现

矩阵性质

逆矩阵

• 逆矩阵是矩阵乘法产生的逆元. 只有方阵才可能有逆。矩阵的逆在解决线性方程组和其他代数问题中扮演关键角色。

特征值和特征向量

• 描述了线性变换中的不变量，用于分析矩阵的性质，如稳定性和动力学行为。

矩阵的迹

• 矩阵的迹是主对角线上元素的和，它在很多理论推导和实际应用中有着特别的重要性。

行列式

• 行列式提供了矩阵变换的“缩放因子”，在计算矩阵的逆和解决线性方程组时非常重要。

矩阵的秩

• 矩阵的秩提供了线性独立列（或行）的数量，是矩阵线性依赖结构的一个基本度量。

正定/半正定

• 这涉及到矩阵的特征值。正定性在优化问题和机器学习模型中尤为重要。

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矩阵运算

矩阵运算

矩阵加法

$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$

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实数与矩阵乘法

$\lambda A=A\lambda =[\lambda a_{ij}]$

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矩阵乘法

矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积. 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。

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转置

矩阵$A$的转置是另一个矩阵$A^T$, 由下列等价动作建立：

• 把$A$的行写为$A^T$的列
• 把$A$的列写为$A^T$的行
  形式上说，$m\times n$矩阵$A$的转置是$n\times m$矩阵

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初等行变换

• 行交换(Row Swap): 交换矩阵的两行.
• 行缩放(Row Multiplication): 将某一行乘以非零常数
• 行相加(Row Addition): 将某一行加上另一行的倍数

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共轭矩阵

当A为复矩阵时,用${\bar{a}}_{ij}$表示$a_{ij}$的共轭复数. 共轭矩阵记为
$\bar{A}=({\bar{a}}_{ij})$

性质

• $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$
• $\overline{\lambda A}=\bar{\lambda }\bar{A}$
• $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$

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矩阵分解

• LUD
• QRD
• SVD

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